Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a.$ Hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC.$ Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$ Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'.$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
Phương pháp:
- Xác định đoạn vuông góc chung của hai đoạn thẳng $AA'$ và BC.
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính $A'G.$
- Áp dụng công thức tính thể tích ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'G.{{S}_{ABC}}.$
Cách giải:
Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Vì tam giác $ABC$ đều nên $AM\bot BC$ và $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Ta có $A'G\bot \left( ABC \right)$ nên $A'G\bot BC;BC\bot AM\Rightarrow BC\bot \left( MAA' \right).$
Trong $\left( AA'M \right)$ kẻ $MI\bot AA'$ tại $I;$ khi đó ta có $BC\bot IM$ nên $IM$ là đoạn vuông góc chung của $AA'$ và $BC,$ do đó $d\left( AA';BC \right)=IM=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Trong $\left( AA'M \right)$ kẻ $GH\bot AA'$ tại $H,$ áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{GH}{IM}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow GH=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AA'G$ ta có:
$\dfrac{1}{H{{G}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{G}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{G}^{2}}}\Leftrightarrow A'G=\dfrac{AG.HG}{\sqrt{A{{G}^{2}}-H{{G}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}{\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{3}-\dfrac{{{a}^{2}}}{12}}}=\dfrac{a}{3}.$
Tam giác ABC đều cạnh $a$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'G.{{S}_{ABC}}=\dfrac{a}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}.$
- Xác định đoạn vuông góc chung của hai đoạn thẳng $AA'$ và BC.
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính $A'G.$
- Áp dụng công thức tính thể tích ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'G.{{S}_{ABC}}.$
Cách giải:
Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Vì tam giác $ABC$ đều nên $AM\bot BC$ và $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Ta có $A'G\bot \left( ABC \right)$ nên $A'G\bot BC;BC\bot AM\Rightarrow BC\bot \left( MAA' \right).$
Trong $\left( AA'M \right)$ kẻ $MI\bot AA'$ tại $I;$ khi đó ta có $BC\bot IM$ nên $IM$ là đoạn vuông góc chung của $AA'$ và $BC,$ do đó $d\left( AA';BC \right)=IM=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Trong $\left( AA'M \right)$ kẻ $GH\bot AA'$ tại $H,$ áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{GH}{IM}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow GH=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AA'G$ ta có:
$\dfrac{1}{H{{G}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{G}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{G}^{2}}}\Leftrightarrow A'G=\dfrac{AG.HG}{\sqrt{A{{G}^{2}}-H{{G}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}{\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{3}-\dfrac{{{a}^{2}}}{12}}}=\dfrac{a}{3}.$
Tam giác ABC đều cạnh $a$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'G.{{S}_{ABC}}=\dfrac{a}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}.$
Đáp án B.