Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABCA'B'C'$ có cạnh bên $AA'=a\sqrt{2}$. Biết đáy $ABC$ là tam giác vuông có $BA=BC=a$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B'C$.
A. $d(AM,B'C)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
B. $d(AM,B'C)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $d(AM,B'C)=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
D. $d(AM,B'C)=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
Cách 1: Chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho $O\equiv B,A\in Ox,C\in Oy,B'\in Oz$. Giả sử $a=1$.
Khi đó $B(0;0;0),A(1;0;0),B'(0;0;\sqrt{2}),M\left( 0;\dfrac{1}{2};0 \right)$.
Ta có $\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{B}'C} \right]=\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2};-\sqrt{2};-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{B}'C} \right].\overrightarrow{A{B}'}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Khi đó $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{B}'C} \right].\overrightarrow{A{B}'} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{B}'C} \right] \right|}=\dfrac{\left| \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \right|}{\dfrac{\sqrt{14}}{2}}=\dfrac{\sqrt{7}}{7}$.
Vậy $d(AM,B'C)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Cách 2:
Gọi $N$ là trung điểm $B{B}'$. Ta có ${B}'C\text{//}MN\Rightarrow {B}'C\text{//}\left( AMN \right)$
$\Rightarrow d\left( AM,{B}'C \right)=d\left( {B}',\left( AMN \right) \right)=d\left( B,\left( AMN \right) \right)=d$.
Tứ diện $BAMN$ có $AB,BM,BN$ đôi một vuông góc nên
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow d=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Vậy $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
A. $d(AM,B'C)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
B. $d(AM,B'C)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $d(AM,B'C)=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
D. $d(AM,B'C)=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
Cách 1: Chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho $O\equiv B,A\in Ox,C\in Oy,B'\in Oz$. Giả sử $a=1$.
Khi đó $B(0;0;0),A(1;0;0),B'(0;0;\sqrt{2}),M\left( 0;\dfrac{1}{2};0 \right)$.
Ta có $\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{B}'C} \right]=\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2};-\sqrt{2};-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{B}'C} \right].\overrightarrow{A{B}'}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Khi đó $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{B}'C} \right].\overrightarrow{A{B}'} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{B}'C} \right] \right|}=\dfrac{\left| \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \right|}{\dfrac{\sqrt{14}}{2}}=\dfrac{\sqrt{7}}{7}$.
Vậy $d(AM,B'C)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Cách 2:
Gọi $N$ là trung điểm $B{B}'$. Ta có ${B}'C\text{//}MN\Rightarrow {B}'C\text{//}\left( AMN \right)$
$\Rightarrow d\left( AM,{B}'C \right)=d\left( {B}',\left( AMN \right) \right)=d\left( B,\left( AMN \right) \right)=d$.
Tứ diện $BAMN$ có $AB,BM,BN$ đôi một vuông góc nên
$\dfrac{1}{{{d}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow d=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Vậy $d\left( AM,{B}'C \right)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Đáp án A.