Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C'. Đáy là tam giác vuông tại A, có BC = 2AC = 2a. Đường thẳng AC' tạo với mặt phẳng (BCC'B') một góc . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng;
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
Phương pháp giải:
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
- Xác định góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B') là góc giữa AC' và hình chiếu của AC' lên (BCC'B').
- Dựa vào định lí Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính bán kính mặt cầu.
- Diện tích mặt cầu bán kính R là .
Giải chi tiết:
Gọi O, O' lần trung điểm của BC và B'C'.
Vì tam giác ABC, A'B'C' lần lượt vuông tại A và A' nên O, O' lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC, A'B'C'. Lại có OO' vuông góc với hai đáy nên OO' là trục hai đáy.
Gọi I là trung điểm của OO' => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ.
Trong kẻ ta có là hình chiếu của AC' lên (BCC'B'), do đó .
Xét tam giác vuông ABC ta có .
Xét tam giác AC'H vuông tại H có: .
Xét tam giác vuông AA'C' có: .
Xét tam giác vuông IOC có: .
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: .
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
- Xác định góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B') là góc giữa AC' và hình chiếu của AC' lên (BCC'B').
- Dựa vào định lí Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính bán kính mặt cầu.
- Diện tích mặt cầu bán kính R là
Giải chi tiết:
Gọi O, O' lần trung điểm của BC và B'C'.
Vì tam giác ABC, A'B'C' lần lượt vuông tại A và A' nên O, O' lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC, A'B'C'. Lại có OO' vuông góc với hai đáy nên OO' là trục hai đáy.
Gọi I là trung điểm của OO' => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ.
Trong
Xét tam giác vuông ABC ta có
Xét tam giác AC'H vuông tại H có:
Xét tam giác vuông AA'C' có:
Xét tam giác vuông IOC có:
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là:
Đáp án B.