Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’. Đáy là tam giác vuông tại A, có BC = 2AC = 2a. Đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc...

Phương pháp giải:
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
- Xác định góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B') là góc giữa AC' và hình chiếu của AC' lên (BCC'B').
- Dựa vào định lí Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính bán kính mặt cầu.
- Diện tích mặt cầu bán kính R là $S=4\pi {{R}^{2}}$.
Giải chi tiết:

Gọi O, O' lần trung điểm của BC và B'C'.
Vì tam giác ABC, A'B'C' lần lượt vuông tại A và A' nên O, O' lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC, A'B'C'. Lại có OO' vuông góc với hai đáy nên OO' là trục hai đáy.
Gọi I là trung điểm của OO' => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ.
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $AH\bot BC\left( H\in BC \right)$ ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AH\bot BC \\
AH\bot B{B}' \\
\end{array} \right.\Rightarrow AH\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\Rightarrow H{C}' $ là hình chiếu của AC' lên (BCC'B'), do đó $ \angle \left( A{C}';\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\angle \left( A{C}';HC \right)=\angle A{C}'H={{30}^{0}}$.
Xét tam giác vuông ABC ta có $AB=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét tam giác AC'H vuông tại H có: $A{C}'=\dfrac{AH}{\sin {{30}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}:\dfrac{1}{2}=a\sqrt{3}$.
Xét tam giác vuông AA'C' có: $A{A}'=\sqrt{A{{{{C}'}}^{2}}-{A}'{{{{C}'}}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}=O{O}'$ $\Rightarrow IO=\dfrac{1}{2}O{O}'=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét tam giác vuông IOC có: $IC=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=R$.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}=6\pi {{a}^{2}}$.