Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’. Đáy là tam giác vuông tại A, có BC = 2AC = 2a. Đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc...

Phương pháp giải:
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
- Xác định góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B') là góc giữa AC' và hình chiếu của AC' lên (BCC'B').
- Dựa vào định lí Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính bán kính mặt cầu.
- Diện tích mặt cầu bán kính R là $S=4\pi R^2$.
Giải chi tiết:

Gọi O, O' lần trung điểm của BC và B'C'.
Vì tam giác ABC, A'B'C' lần lượt vuông tại A và A' nên O, O' lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC, A'B'C'. Lại có OO' vuông góc với hai đáy nên OO' là trục hai đáy.
Gọi I là trung điểm của OO' => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ.
Trong $\left(ABC\right)$ kẻ $AH\mathrm{\perp }BC(H\in BC)$ ta có $\{\begin{array}{l}AH\mathrm{\perp }BC\\ AH\mathrm{\perp }B{B}^{\prime }\end{array}\Rightarrow AH\mathrm{\perp }\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)\Rightarrow H{C}^{\prime }$ là hình chiếu của AC' lên (BCC'B'), do đó $\mathrm{\angle }(A{C}^{\prime };\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right))=\mathrm{\angle }(A{C}^{\prime };HC)=\mathrm{\angle }A{C}^{\prime }H={30}^0$.
Xét tam giác vuông ABC ta có $AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow AH={\displaystyle \frac{AB.AC}{BC}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}.a}{2a}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$.
Xét tam giác AC'H vuông tại H có: $A{C}^{\prime }={\displaystyle \frac{AH}{\sin {30}^0}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}:{\displaystyle \frac{1}{2}}=a\sqrt{3}$.
Xét tam giác vuông AA'C' có: $A{A}^{\prime }=\sqrt{A{C^{\prime }}^2-A^{\prime }{C^{\prime }}^2}=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt{2}=O{O}^{\prime }$ $\Rightarrow IO={\displaystyle \frac{1}{2}}O{O}^{\prime }={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$.
Xét tam giác vuông IOC có: $IC=\sqrt{I{O}^2+O{C}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{2}}+a^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}=R$.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: $S=4\pi R^2=4\pi .{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}\right)}^2=6\pi a^2$.