Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông và $AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2},M$ là trung điểm $BC.$ Tính khoảng cách $d$ của hai đường thẳng $AM$ và $B'C.$
A. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
B. $d=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}.$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
D. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$
Ta có $AB=BC=a$ nên $\Delta ABC$ vuông cân tại $B.$
Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{2}.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$ (đvtt).
Gọi $E$ là trung điểm $BB'.$ Khi đó $B'C//EM\Rightarrow B'C//\left( AME \right).$
Vậy $d\left( AM,B'C \right)=d\left( \left( AME \right),B'C \right)=d\left( C,\left( AME \right) \right)=d\left( A,\left( AME \right) \right).$
Gọi $h$ là khoảng cách từ $A$ đến $\left( AME \right).$
Ta nhận thấy tứ diện $B.AME$ có $BE,BM,BA$ đôi một vuông góc.
Khi đó $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}.$
A. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
B. $d=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}.$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
D. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$
Ta có $AB=BC=a$ nên $\Delta ABC$ vuông cân tại $B.$
Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{2}.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$ (đvtt).
Gọi $E$ là trung điểm $BB'.$ Khi đó $B'C//EM\Rightarrow B'C//\left( AME \right).$
Vậy $d\left( AM,B'C \right)=d\left( \left( AME \right),B'C \right)=d\left( C,\left( AME \right) \right)=d\left( A,\left( AME \right) \right).$
Gọi $h$ là khoảng cách từ $A$ đến $\left( AME \right).$
Ta nhận thấy tứ diện $B.AME$ có $BE,BM,BA$ đôi một vuông góc.
Khi đó $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}.$
Đáp án B.