Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác vuông và $A B = B C = a, A A^{'} = a \sqrt{2}, M$ là trung điểm $B C .$ Tính khoảng cách $d$ của hai đường...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy là tam giác vuông và

A B = B C = a, A A^{'} = a \sqrt{2}, M

là trung điểm

B C .

Tính khoảng cách

d

của hai đường thẳng

A M

và

B^{'} C .

A.

d = \frac{a \sqrt{3}}{3} .

B.

d = \frac{a \sqrt{7}}{7} .

C.

d = \frac{a \sqrt{2}}{2} .

D.

d = \frac{a \sqrt{6}}{6} .

Ta có

A B = B C = a

nên

Δ A B C

vuông cân tại

B .

Thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

và

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} . S_{Δ A B C} = a \sqrt{2} . \frac{1}{2} a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}

(đvtt).
Gọi

E

là trung điểm

B B^{'} .

Khi đó

B^{'} C / / E M \Rightarrow B^{'} C / / (A M E) .

Vậy

d (A M, B^{'} C) = d ((A M E), B^{'} C) = d (C, (A M E)) = d (A, (A M E)) .

Gọi

h

là khoảng cách từ

A

đến

(A M E) .

Ta nhận thấy tứ diện

B . A M E

có

B E, B M, B A

đôi một vuông góc.
Khi đó

\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{B M^{2}} + \frac{1}{B E^{2}} + \frac{1}{B A^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{h^{2}} = \frac{4}{a^{2}} + \frac{2}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{7}{a^{2}} \Rightarrow h = \frac{a \sqrt{7}}{7} .

Đáp án B.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông và AB=BC=a,AA′=a2,M là trung điểm BC. Tính khoảng cách d của hai đường...