Google
Câu hỏi: : Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là tam giác cân đỉnh A. Biết $BC=a\sqrt{3}$ và $\angle ABC={{30}^{0}},$ cạnh bên $AA'=a.$ Gọi M là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{CC'}.$ Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và $\left( AB'M \right),$ khi đó $\sin \alpha $ có giá trị bằng
A. $\dfrac{\sqrt{66}}{22}$
B. $\dfrac{\sqrt{481}}{22}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{22}$
D. $\dfrac{\sqrt{418}}{22}$
A. $\dfrac{\sqrt{66}}{22}$
B. $\dfrac{\sqrt{481}}{22}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{22}$
D. $\dfrac{\sqrt{418}}{22}$
(VDC) - Hai mặt phẳng vuông góc (lớp 11)
Phương pháp:
- Chứng minh $\angle \left( \left( ABC \right);\left( AB'M \right) \right)=\angle \left( \left( B'C'N \right);\left( B'MN \right) \right).$
- Trong (A'B'C') kẻ $C'H\bot B'N,$ chứng minh $\angle \left( \left( B'C'N \right);\left( B'MN \right) \right)=\angle \left( C'H;MH \right).$
- Sử dụng diện tích tam giác và định lí Cosin trong tam giác tính C'H.
- Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $\sin \alpha .$
Cách giải:
Trong $\left( ACC'A' \right)$ gọi $N=AM\cap A'C',$ khi đó ta có $\left( AB'M \right)=\left( B'MN \right),$ lại có $\left( ABC \right)//\left( B'C'N \right).$
$\Rightarrow \angle \left( \left( ABC \right);\left( AB'M \right) \right)=\angle \left( \left( B'C'N \right);\left( B'MN \right) \right).$
Trong $\left( A'B'C' \right)$ kẻ $C'H\bot B'N,$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& B'N\bot C'H \\
& B'N\bot C'M \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B'N\bot \left( C'MH \right)\Rightarrow B'N\bot H$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( B'C'N \right)\cap \left( B'MN \right)=B'N \\
& C'H\subset \left( B'C'N \right),C'H\bot B'N \\
& MH\subset \left( B'MN \right),MH\bot B'N \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( B'C'N \right);\left( B'MN \right) \right)=\angle \left( C'H;MH \right)=\angle C'HM=\alpha .$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{C'N}{AC}=\dfrac{MC'}{MC}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{C'N}{A'C'}$
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{NB'C'}}}{{{S}_{A'B'C'}}}=\dfrac{NC'}{A'C'}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{S}_{NB'C'}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{A'B'C'}}.$
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $A'B'C'$ ta có:
$\cos A'B'C'=\dfrac{A'B{{'}^{2}}+B'C{{'}^{2}}-A'C{{'}^{2}}}{2A'B'.B'C'}$
$\Leftrightarrow \cos {{30}^{0}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2.A'B'.a\sqrt{3}}$
$\Leftrightarrow 3a.A'B'=3{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow A'B'=a=A'C',A'N=\dfrac{2}{3}A'C'=\dfrac{2a}{3}$
$\Leftrightarrow {{S}_{A'B'C'}}=\dfrac{1}{2}A'B'.A'C'.\sin \angle B'A'C'$
$=\dfrac{1}{2}.a.a.\sin {{120}^{0}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Áp dụng định lí Cosin cho tam giác $A'B'N$ ta có:
$B'{{N}^{2}}=A'B{{'}^{2}}+A'{{N}^{2}}-2A'B'.A'N.\cos \angle B'A'N$
$B'{{N}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{2a}{3} \right)}^{2}}-2.a.\dfrac{2a}{3}.\cos {{120}^{0}}$
$B'{{N}^{2}}=\dfrac{19{{a}^{2}}}{9}\Rightarrow B'N=\dfrac{a\sqrt{19}}{3}$
Lại có ${{S}_{NB'C'}}=\dfrac{1}{2}C'H.B'N\Rightarrow C'H=\dfrac{2{{S}_{NB'C'}}}{B'N}=\dfrac{a\sqrt{57}}{38}.$
Ta có $MC'=\dfrac{1}{2}CC'=\dfrac{a}{2}.$
$MC'\bot \left( A'B'C \right)\Rightarrow MC'\bot C'H\Rightarrow \Delta MC'H$ vuông tại $C'.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $MH=\sqrt{MC{{'}^{2}}+C'{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{76}}=\dfrac{a\sqrt{418}}{38}.$
Vậy $\sin \alpha =\sin \angle C'HM=\dfrac{MC'}{MH}=\dfrac{a}{2}:\dfrac{a\sqrt{418}}{38}=\dfrac{\sqrt{418}}{22}.$
Phương pháp:
- Chứng minh $\angle \left( \left( ABC \right);\left( AB'M \right) \right)=\angle \left( \left( B'C'N \right);\left( B'MN \right) \right).$
- Trong (A'B'C') kẻ $C'H\bot B'N,$ chứng minh $\angle \left( \left( B'C'N \right);\left( B'MN \right) \right)=\angle \left( C'H;MH \right).$
- Sử dụng diện tích tam giác và định lí Cosin trong tam giác tính C'H.
- Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $\sin \alpha .$
Cách giải:
Trong $\left( ACC'A' \right)$ gọi $N=AM\cap A'C',$ khi đó ta có $\left( AB'M \right)=\left( B'MN \right),$ lại có $\left( ABC \right)//\left( B'C'N \right).$
$\Rightarrow \angle \left( \left( ABC \right);\left( AB'M \right) \right)=\angle \left( \left( B'C'N \right);\left( B'MN \right) \right).$
Trong $\left( A'B'C' \right)$ kẻ $C'H\bot B'N,$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& B'N\bot C'H \\
& B'N\bot C'M \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B'N\bot \left( C'MH \right)\Rightarrow B'N\bot H$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( B'C'N \right)\cap \left( B'MN \right)=B'N \\
& C'H\subset \left( B'C'N \right),C'H\bot B'N \\
& MH\subset \left( B'MN \right),MH\bot B'N \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( B'C'N \right);\left( B'MN \right) \right)=\angle \left( C'H;MH \right)=\angle C'HM=\alpha .$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{C'N}{AC}=\dfrac{MC'}{MC}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{C'N}{A'C'}$
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{NB'C'}}}{{{S}_{A'B'C'}}}=\dfrac{NC'}{A'C'}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{S}_{NB'C'}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{A'B'C'}}.$
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $A'B'C'$ ta có:
$\cos A'B'C'=\dfrac{A'B{{'}^{2}}+B'C{{'}^{2}}-A'C{{'}^{2}}}{2A'B'.B'C'}$
$\Leftrightarrow \cos {{30}^{0}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2.A'B'.a\sqrt{3}}$
$\Leftrightarrow 3a.A'B'=3{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow A'B'=a=A'C',A'N=\dfrac{2}{3}A'C'=\dfrac{2a}{3}$
$\Leftrightarrow {{S}_{A'B'C'}}=\dfrac{1}{2}A'B'.A'C'.\sin \angle B'A'C'$
$=\dfrac{1}{2}.a.a.\sin {{120}^{0}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Áp dụng định lí Cosin cho tam giác $A'B'N$ ta có:
$B'{{N}^{2}}=A'B{{'}^{2}}+A'{{N}^{2}}-2A'B'.A'N.\cos \angle B'A'N$
$B'{{N}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{2a}{3} \right)}^{2}}-2.a.\dfrac{2a}{3}.\cos {{120}^{0}}$
$B'{{N}^{2}}=\dfrac{19{{a}^{2}}}{9}\Rightarrow B'N=\dfrac{a\sqrt{19}}{3}$
Lại có ${{S}_{NB'C'}}=\dfrac{1}{2}C'H.B'N\Rightarrow C'H=\dfrac{2{{S}_{NB'C'}}}{B'N}=\dfrac{a\sqrt{57}}{38}.$
Ta có $MC'=\dfrac{1}{2}CC'=\dfrac{a}{2}.$
$MC'\bot \left( A'B'C \right)\Rightarrow MC'\bot C'H\Rightarrow \Delta MC'H$ vuông tại $C'.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $MH=\sqrt{MC{{'}^{2}}+C'{{H}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{76}}=\dfrac{a\sqrt{418}}{38}.$
Vậy $\sin \alpha =\sin \angle C'HM=\dfrac{MC'}{MH}=\dfrac{a}{2}:\dfrac{a\sqrt{418}}{38}=\dfrac{\sqrt{418}}{22}.$
Đáp án C.