Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác cân có $AB=BC=3a.$ Đường thẳng $A'C$ tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Trên cạnh $A'C$ lấy...

Hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'\Rightarrow A$ là hình chiếu của $A'$ trên mặt đáy $\left( ABC \right)$
$\Rightarrow \widehat{A'CA}=\left( \widehat{A'C,\left( ABC \right)} \right)=\widehat{A'CA}={{60}^{0}}$
$\Delta A'CA$ vuông tại $A\Rightarrow A'A=AC.\tan \widehat{A'CA}=3a.\tan {{60}^{0}}=3a\sqrt{3}$
$\Delta A'AB$ vuông tại $A\Rightarrow AB=\sqrt{A'{{B}^{2}}-A'{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{31} \right)}^{2}}-{{\left( 3a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}}=2a$
Kẻ $CH\bot AB$ tại $H\Rightarrow H$ là trung điểm của $AB$ (do $\Delta ABC$ cân tại $C)$
Mà $A'A\bot \left( ABC \right)\Rightarrow A'A\bot CH\Rightarrow CH\bot \left( ABB'A' \right)$
Kẻ $MI//CH,I\in A'H\Rightarrow MI\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow MI$ là khoảng cách từ $M$ tới $mp\left( ABB'A' \right)$
Ta có: $HA=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{2a}{2}=a\Rightarrow CH=\sqrt{A{{C}^{2}}-H{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=\sqrt{8{{a}^{2}}}=2a\sqrt{2}$
$MI//HC\Rightarrow \dfrac{MI}{HC}=\dfrac{A'M}{AC},$ mà $A'M=2MC\Rightarrow \dfrac{A'M}{AC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{MI}{HC}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow MI=\dfrac{2}{3}HC=\dfrac{2}{3}.2a\sqrt{2}=\dfrac{4a\sqrt{2}}{3}$
Vậy khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( ABB'A' \right)$ là $\dfrac{4a\sqrt{2}}{3}.$