Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ vuông tại $A,AB=a\sqrt{3},AC=AA'=a.$ Sin góc giữa đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{10}}{4}.$
Trong mặt phẳng $\left( ABC \right)$ kẻ $AH\bot BC$ với $H\in BC.$
Do $BB'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow BB'\bot AH.$ Suy ra $AH\bot \left( BCC'B' \right).$
Khi đó góc giữa đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ là góc giữa đường thẳng $AC'$ và đường thẳng $HC'$ hay là góc $\widehat{AC'H}.$
Ta có $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a;AC'=AC\sqrt{2}=a\sqrt{2}$
Khi đó trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$AH.BC=AB.AC\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Trong tam giác $AHC'$ vuông tại $H$ ta có: $\sin \widehat{AC'H}=\dfrac{AH}{AC'}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}.$
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{10}}{4}.$
Trong mặt phẳng $\left( ABC \right)$ kẻ $AH\bot BC$ với $H\in BC.$
Do $BB'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow BB'\bot AH.$ Suy ra $AH\bot \left( BCC'B' \right).$
Khi đó góc giữa đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ là góc giữa đường thẳng $AC'$ và đường thẳng $HC'$ hay là góc $\widehat{AC'H}.$
Ta có $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a;AC'=AC\sqrt{2}=a\sqrt{2}$
Khi đó trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$AH.BC=AB.AC\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Trong tam giác $AHC'$ vuông tại $H$ ta có: $\sin \widehat{AC'H}=\dfrac{AH}{AC'}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}.$
Đáp án B.