Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ vuông tại $A,AB=a\sqrt{3},AC=A{A}^{\prime }=a.$ Sin góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $\left( BCC'B'...

Trong mặt phẳng $\left(ABC\right)$ kẻ $AH\mathrm{\perp }BC$ với $H\in BC.$
Do $B{B}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow B{B}^{\prime }\mathrm{\perp }AH.$ Suy ra $AH\mathrm{\perp }\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right).$
Khi đó góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)$ là góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và đường thẳng $H{C}^{\prime }$ hay là góc $\widehat{A{C}^{\prime }H}.$
Ta có $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a;A{C}^{\prime }=AC\sqrt{2}=a\sqrt{2}$
Khi đó trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$AH.BC=AB.AC\iff AH={\displaystyle \frac{AB.AC}{BC}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}.a}{2a}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}.$
Trong tam giác $AH{C}^{\prime }$ vuông tại $H$ ta có: $\sin \widehat{A{C}^{\prime }H}={\displaystyle \frac{AH}{A{C}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}}{a\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}.$