Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,AC=\sqrt{5}a,AA'=\sqrt{3}a$ (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ $C'$ đến mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}a}{4}.$
B. $\sqrt{3}a.$
C. $\dfrac{3a}{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}a}{2}.$
Gọi $O=A'C\cap AC'.$ Ta có $C'O=AO\Rightarrow d\left( C',\left( A'BC \right) \right)=d\left( A,\left( A'BC \right) \right).$
Kẻ $AH\bot A'B\left( 1 \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A'AB \right)\Rightarrow BC\bot AH\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AH\bot \left( A'BC \right)\Rightarrow d\left( A,\left( A'BC \right) \right)=AH.$
Ta có $AB=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=a.$
Suy ra $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{AA{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Vậy $d\left( C',\left( A'BC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}a}{4}.$
B. $\sqrt{3}a.$
C. $\dfrac{3a}{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}a}{2}.$
Gọi $O=A'C\cap AC'.$ Ta có $C'O=AO\Rightarrow d\left( C',\left( A'BC \right) \right)=d\left( A,\left( A'BC \right) \right).$
Kẻ $AH\bot A'B\left( 1 \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( A'AB \right)\Rightarrow BC\bot AH\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AH\bot \left( A'BC \right)\Rightarrow d\left( A,\left( A'BC \right) \right)=AH.$
Ta có $AB=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=a.$
Suy ra $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{AA{{'}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Vậy $d\left( C',\left( A'BC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án D.