Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Gọi $E$ là trung điểm $AB$. Cho biết $AB=2a,BC=a\sqrt{3},CC'=4a.$...

Gọi $N$ là trung điểm của $A'A\Rightarrow NE//A'B\Rightarrow AB'//\left( CNE \right)$
Do đó $d\left( CE;A'B \right)=d\left( A'B;\left( CNE \right) \right)=d\left( A';\left( CNE \right) \right)=d\left( A;\left( CNE \right) \right)$
Từ $A$ hạ $AH\bot NE$ và $AK\bot CH$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot AB \\
& AC\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot NE $ mà $ AH\bot NE $ nên $ NE\bot \left( AHC \right)$.
$\Rightarrow \left( AHC \right)\bot \left( CNE \right)$ theo giao tuyến $CH$
Mặt khác $AK\bot CH$ nên $AK\bot \left( CNE \right)$ vì vậy $d\left( A;\left( CNE \right) \right)=AK$.
Trong tam giác vuông $AHC$ có $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}$
Trong tam giác vuông $ANE$ có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{N}^{2}}}$
Vậy $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 3a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}\Rightarrow AK=\dfrac{6a}{7}$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $CE$ bằng $\dfrac{6a}{7}.$