Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Gọi $E$ là trung điểm $AB$. Cho biết $AB=2a,BC=a\sqrt{3},C{C}^{\prime }=4a.$...

Gọi $N$ là trung điểm của $A^{\prime }A\Rightarrow NE//A^{\prime }B\Rightarrow A{B}^{\prime }//\left(CNE\right)$
Do đó $d(CE;A^{\prime }B)=d(A^{\prime }B;\left(CNE\right))=d(A^{\prime };\left(CNE\right))=d(A;\left(CNE\right))$
Từ $A$ hạ $AH\mathrm{\perp }NE$ và $AK\mathrm{\perp }CH$
Ta có $\{\begin{array}{rl}& AC\mathrm{\perp }AB\\ & AC\mathrm{\perp }A{A}^{\prime }\end{array}\Rightarrow AC\mathrm{\perp }NE$ mà $AH\mathrm{\perp }NE$ nên $NE\mathrm{\perp }\left(AHC\right)$.
$\Rightarrow \left(AHC\right)\mathrm{\perp }\left(CNE\right)$ theo giao tuyến $CH$
Mặt khác $AK\mathrm{\perp }CH$ nên $AK\mathrm{\perp }\left(CNE\right)$ vì vậy $d(A;\left(CNE\right))=AK$.
Trong tam giác vuông $AHC$ có ${\displaystyle \frac{1}{A{K}^2}}={\displaystyle \frac{1}{A{C}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{A{H}^2}}$
Trong tam giác vuông $ANE$ có ${\displaystyle \frac{1}{A{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{A{E}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{A{N}^2}}$
Vậy ${\displaystyle \frac{1}{A{K}^2}}={\displaystyle \frac{1}{A{C}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{A{E}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{A{N}^2}}={\displaystyle \frac{1}{{\left(3a\right)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\left(2a\right)}^2}}\Rightarrow AK={\displaystyle \frac{6a}{7}}$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $CE$ bằng ${\displaystyle \frac{6a}{7}}.$