Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,AB=a\sqrt{3},BC=2a,$ đường thẳng $AC'$ tạo với mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ một góc ${{30}^{0}}.$ Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
A. $24\pi {{a}^{2}}$.
B. $3\pi {{a}^{2}}$.
C. $4\pi {{a}^{2}}$.
D. $6\pi {{a}^{2}}$.
Ta có $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Ta có $\left( AC',\left( BCC'B' \right) \right)=\left( AC',HC' \right)=\widehat{AC'H}\Rightarrow \widehat{AC'H}={{30}^{0}}\Rightarrow AC'=2AH=a\sqrt{3}.$
$\Rightarrow CC'=\sqrt{AC{{'}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Gọi $O,O',I$ lần lượt là trung điểm của $BC,B'C',OO'\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngại tiếp lăng trụ.
$\Rightarrow R=AI=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{CC'}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Vậy diện tích mặt cầu là $4.\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}=6\pi {{a}^{2}}.$
A. $24\pi {{a}^{2}}$.
B. $3\pi {{a}^{2}}$.
C. $4\pi {{a}^{2}}$.
D. $6\pi {{a}^{2}}$.
Ta có $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Ta có $\left( AC',\left( BCC'B' \right) \right)=\left( AC',HC' \right)=\widehat{AC'H}\Rightarrow \widehat{AC'H}={{30}^{0}}\Rightarrow AC'=2AH=a\sqrt{3}.$
$\Rightarrow CC'=\sqrt{AC{{'}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Gọi $O,O',I$ lần lượt là trung điểm của $BC,B'C',OO'\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngại tiếp lăng trụ.
$\Rightarrow R=AI=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{CC'}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Vậy diện tích mặt cầu là $4.\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}=6\pi {{a}^{2}}.$
Đáp án D.