Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh a. Góc giữa $A'C$ và mặt đáy bằng ${{30}^{\circ }}$. Thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là:
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
Ta có: ${{V}_{ABC.A'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.AA'$.
$ABC$ là tam giác đều cạnh a $\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Góc giữa $A'C$ và mặt đáy bằng ${{30}^{\circ }}$ $\Rightarrow \widehat{\left( A'C;(ABC) \right)}=\left( \widehat{AC,CA'} \right)=\widehat{ACA'}={{30}^{\circ }}$.
Xét tam giác $ACA'$ có: $AA'=a.\tan {{30}^{\circ }}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Suy ra: ${{V}_{LT}}={{S}_{ABC}}.AA'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
Ta có: ${{V}_{ABC.A'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.AA'$.
$ABC$ là tam giác đều cạnh a $\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Góc giữa $A'C$ và mặt đáy bằng ${{30}^{\circ }}$ $\Rightarrow \widehat{\left( A'C;(ABC) \right)}=\left( \widehat{AC,CA'} \right)=\widehat{ACA'}={{30}^{\circ }}$.
Xét tam giác $ACA'$ có: $AA'=a.\tan {{30}^{\circ }}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Suy ra: ${{V}_{LT}}={{S}_{ABC}}.AA'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án C.