Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Biết diện tích tam giác $A'BC$ bằng $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$...

Phương pháp:
- Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ chứng minh $A'M\bot BC.$
- Sử dụng ${{S}_{A'BC}}=\dfrac{1}{2}A'M.BC,$ tính $A'M.$
- Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính $AA'.$
- Tính ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{ABC}}.$
Cách giải:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM\bot BC$ và $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AMA' \right)\Rightarrow BC\bot A'M.$
Khi đó ta có ${{S}_{A'BC}}=\dfrac{1}{2}A'M.BC\Rightarrow A'M=\dfrac{2{{S}_{A'BC}}}{BC}=\dfrac{2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}{a}=a\sqrt{3}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $A'AM$ ta có $AA'=\sqrt{A'{{M}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{3a}{2}.$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{ABC}}=\dfrac{3a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$