Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy $ABC$ là tam giác cân, $AB=AC=a,\angle BAC={{120}^{0}},$ $BB'=a.$ $I$ là trung điểm của $CC'.$ Tính cosin góc giữa $\left( ABC \right)$ và $\left( AB'I \right)$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\sqrt{\dfrac{3}{10}}$
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\sqrt{\dfrac{3}{10}}$
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
Phương pháp:
Sử dụng công thức: $\cos \alpha =\dfrac{{{S}_{hc}}}{S},$ với $\alpha $ là góc tạo bởi 2 mặt phẳng $S,{{S}_{hc}}$ lần lượt là diện tích mặt phẳng và diện tích hình chiếu của nó.
Cách giải:
Ta có: $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2AC.AB.\cos \angle BAC}=a\sqrt{3}.$
$AB'=\sqrt{A{{B}^{2}}+BB{{'}^{2}}}=a\sqrt{2}$
$IB'=\sqrt{IC{{'}^{2}}+C'B{{'}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+3{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
$IA=\sqrt{I{{C}^{2}}+C{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
$\Rightarrow I{{A}^{2}}+AB{{'}^{2}}=\dfrac{5{{a}^{2}}}{5}+2{{a}^{2}}=\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}=IB{{'}^{2}}$
$\Rightarrow \Delta IB'A$ vuông tại $A$ (theo định lí Pytago đảo)
Ta có:
${{S}_{IB'A}}=\dfrac{1}{2}IA.AB'=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{4}$
${{S}_{CBA}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Gọi $\alpha =\angle \left( \left( ABC \right);\left( AB'I \right) \right)$ ta có $\cos \alpha =\dfrac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{AB'I}}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}:\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{4}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}.$
Sử dụng công thức: $\cos \alpha =\dfrac{{{S}_{hc}}}{S},$ với $\alpha $ là góc tạo bởi 2 mặt phẳng $S,{{S}_{hc}}$ lần lượt là diện tích mặt phẳng và diện tích hình chiếu của nó.
Cách giải:
Ta có: $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2AC.AB.\cos \angle BAC}=a\sqrt{3}.$
$AB'=\sqrt{A{{B}^{2}}+BB{{'}^{2}}}=a\sqrt{2}$
$IB'=\sqrt{IC{{'}^{2}}+C'B{{'}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+3{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
$IA=\sqrt{I{{C}^{2}}+C{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
$\Rightarrow I{{A}^{2}}+AB{{'}^{2}}=\dfrac{5{{a}^{2}}}{5}+2{{a}^{2}}=\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}=IB{{'}^{2}}$
$\Rightarrow \Delta IB'A$ vuông tại $A$ (theo định lí Pytago đảo)
Ta có:
${{S}_{IB'A}}=\dfrac{1}{2}IA.AB'=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{4}$
${{S}_{CBA}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Gọi $\alpha =\angle \left( \left( ABC \right);\left( AB'I \right) \right)$ ta có $\cos \alpha =\dfrac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{AB'I}}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}:\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{4}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}.$
Đáp án C.