Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có cạnh bên $\text{AA}'=a\sqrt{2}$. Biết đáy $ABC$ là tam giác vuông có $BA=BC=a$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B'C$.
A. $d\left( AM, B'C \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $d\left( AM, B'C \right)=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
C. $d\left( AM, B'C \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $d\left( AM, B'C \right)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
- Bước 1: Dựng khoảng cách.
Trong mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ kẻ đường thẳng $MN// B'C$, suy ra $B'C// \left( AMN \right)$.
Khi đó $d\left( AM, B'C \right)=d\left( B'C; \left( AMN \right) \right)=d\left( C; \left( AMN \right) \right)$.
Đường thẳng $BC$ cắt $\left( AMN \right)$ tại điểm $M$. Khi đó $\dfrac{d\left( C; \left( AMN \right) \right)}{d\left( B; \left( AMN \right) \right)}=\dfrac{CM}{BM}=1\Rightarrow d\left( B; \left( AMN \right) \right)=d\left( C; \left( AMN \right) \right)$. Ta sẽ tính $d\left( B; \left( AMN \right) \right)$.
Trong $\left( BMN \right)$ kẻ đường cao $BI\bot MN; I\in MN$, trong $\left( AMN \right)$ kẻ đường cao $BK\bot AI$ với $K\in AI$.
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\bot BC$. Mặt khác do $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $BB'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow BB'\bot AB$. Từ đó có $AB\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot \left( BMN \right)\Rightarrow AB\bot MN$.
Ta lại có $BI\bot MN$ nên $MN\bot \left( ABI \right)$ và $\left( AMN \right)\bot \left( ABI \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABI \right)\bot \left( AMN \right) \\
& \left( ABI \right)\cap \left( AMN \right)=AI \\
& BK\bot AI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BK\bot \left( AMN \right) $. Từ đó $ d\left( B; \left( AMN \right) \right)=BK$.
- Bước 2: Tính khoảng cách $d\left( B; \left( AMN \right) \right)=BK$ .
Ta có tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}$ và $BN=\dfrac{1}{2}BB'=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$.
Xét tam giác $BMN$ vuông tại $B$ có: $\dfrac{1}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{6}{{{a}^{2}}}\Rightarrow BI=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Xét tam giác $ABK$ vuông tại $B$ có: $\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{6}{{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}\Rightarrow BK=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Vậy $d\left( B; \left( AMN \right) \right)=BK=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
A. $d\left( AM, B'C \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $d\left( AM, B'C \right)=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
C. $d\left( AM, B'C \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $d\left( AM, B'C \right)=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
- Bước 1: Dựng khoảng cách.
Trong mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ kẻ đường thẳng $MN// B'C$, suy ra $B'C// \left( AMN \right)$.
Khi đó $d\left( AM, B'C \right)=d\left( B'C; \left( AMN \right) \right)=d\left( C; \left( AMN \right) \right)$.
Đường thẳng $BC$ cắt $\left( AMN \right)$ tại điểm $M$. Khi đó $\dfrac{d\left( C; \left( AMN \right) \right)}{d\left( B; \left( AMN \right) \right)}=\dfrac{CM}{BM}=1\Rightarrow d\left( B; \left( AMN \right) \right)=d\left( C; \left( AMN \right) \right)$. Ta sẽ tính $d\left( B; \left( AMN \right) \right)$.
Trong $\left( BMN \right)$ kẻ đường cao $BI\bot MN; I\in MN$, trong $\left( AMN \right)$ kẻ đường cao $BK\bot AI$ với $K\in AI$.
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\bot BC$. Mặt khác do $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $BB'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow BB'\bot AB$. Từ đó có $AB\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot \left( BMN \right)\Rightarrow AB\bot MN$.
Ta lại có $BI\bot MN$ nên $MN\bot \left( ABI \right)$ và $\left( AMN \right)\bot \left( ABI \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABI \right)\bot \left( AMN \right) \\
& \left( ABI \right)\cap \left( AMN \right)=AI \\
& BK\bot AI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BK\bot \left( AMN \right) $. Từ đó $ d\left( B; \left( AMN \right) \right)=BK$.
- Bước 2: Tính khoảng cách $d\left( B; \left( AMN \right) \right)=BK$ .
Ta có tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}$ và $BN=\dfrac{1}{2}BB'=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$.
Xét tam giác $BMN$ vuông tại $B$ có: $\dfrac{1}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{M}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{6}{{{a}^{2}}}\Rightarrow BI=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
Xét tam giác $ABK$ vuông tại $B$ có: $\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{6}{{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{{{a}^{2}}}\Rightarrow BK=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Vậy $d\left( B; \left( AMN \right) \right)=BK=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
Đáp án D.