Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB=AA'=2a,AC=a,\angle BAC={{120}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $ABCC'B'$ bằng:

Phương pháp:
- Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCC'B'$ chính là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'.$
- Sử dụng công thức tính nhanh: Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, ${{R}_{day}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $ABC,$ ta có $R=\sqrt{\dfrac{{{h}^{2}}}{4}+R_{day}^{2}},$ với $h$ là chiều cao hình trụ.
- Áp dụng định lí Cosin tính $BC.$
- Áp dụng định lí sin tính ${{R}_{day}}:\dfrac{BC}{\sin \angle BAC}=2{{R}_{day}}.$
Cách giải:

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCC'B'$ chính là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'.$
Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, ${{R}_{day}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $ABC,$ ta có $R=\sqrt{\dfrac{{{h}^{2}}}{4}+R_{day}^{2}}$, với $h$ là chiều cao lăng trụ.
Ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \angle BAC=\dfrac{1}{2}.2a.a.\sin {{120}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.$
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $ABC$ ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos \angle BAC=7{{a}^{2}}\Rightarrow BC=\sqrt{7}a.$
Áp dụng định lí Sin trong tam giác $ABC$ ta có: $\dfrac{BC}{\sin \angle BAC}=2{{R}_{day}}\Rightarrow {{R}_{day}}=\dfrac{\sqrt{21}a}{3}.$
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp $A.BCC'B'$ là: $R=\sqrt{\dfrac{{{h}^{2}}}{4}+R_{day}^{2}}=\sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{7{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{\sqrt{30}a}{3}$