Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}'$ (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( A{B}'C \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Gọi $N$ là trung điểm $AC\Rightarrow AC\bot BN$
Mà $AC\bot B{B}'$ nên $AC\bot \left( NB{B}' \right)\Rightarrow \left( A{B}'C \right)\bot \left( NB{B}' \right)$.
Có $\left( A{B}'C \right)\cap \left( NB{B}' \right)={B}'N$.
Dựng $BH\bot {B}'N\text{ }\left( H\in {B}'N \right)$. Suy ra $BH\bot \left( A{B}'C \right)$.
Ta có: $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( {A}',\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}BH$.
$\Delta NB{B}'$ vuông tại $B$ nên $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow BH=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
Vậy $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}BH=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Mà $AC\bot B{B}'$ nên $AC\bot \left( NB{B}' \right)\Rightarrow \left( A{B}'C \right)\bot \left( NB{B}' \right)$.
Có $\left( A{B}'C \right)\cap \left( NB{B}' \right)={B}'N$.
Dựng $BH\bot {B}'N\text{ }\left( H\in {B}'N \right)$. Suy ra $BH\bot \left( A{B}'C \right)$.
Ta có: $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( {A}',\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}BH$.
$\Delta NB{B}'$ vuông tại $B$ nên $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow BH=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
Vậy $d\left( M,\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{1}{2}BH=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Đáp án A.