Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có mặt đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ có $AB=a, AC=a\sqrt{3}, {A}'B=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AC$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $\left( {A}'BC \right)$
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{3a}{2}$.
D. $\dfrac{3a}{4}$.
Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AB{A}' \right)\Rightarrow BC\bot AI$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& AI\bot SB \\
& AI\bot BC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AI\bot \left( {A}'AB \right)\Rightarrow d\left( A, \left( {A}'AB \right) \right)=AI$
$A{{{A}'}^{2}}={A}'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}=4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow A{A}'=a\sqrt{3}$
Xét tam giác vuông $AB{A}':\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}\Rightarrow AI=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $AM\cap \left( {A}'BC \right)=\left\{ C \right\}\Rightarrow \dfrac{d\left( M, \left( {A}'BC \right) \right)}{d\left( A, \left( {A}'BC \right) \right)}=\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow d\left( M, \left( {A}'BC \right) \right)=\dfrac{1}{2}.d\left( A, \left( {A}'BC \right) \right)=\dfrac{1}{2}.AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{3a}{2}$.
D. $\dfrac{3a}{4}$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AB{A}' \right)\Rightarrow BC\bot AI$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& AI\bot SB \\
& AI\bot BC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AI\bot \left( {A}'AB \right)\Rightarrow d\left( A, \left( {A}'AB \right) \right)=AI$
$A{{{A}'}^{2}}={A}'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}=4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow A{A}'=a\sqrt{3}$
Xét tam giác vuông $AB{A}':\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}\Rightarrow AI=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $AM\cap \left( {A}'BC \right)=\left\{ C \right\}\Rightarrow \dfrac{d\left( M, \left( {A}'BC \right) \right)}{d\left( A, \left( {A}'BC \right) \right)}=\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow d\left( M, \left( {A}'BC \right) \right)=\dfrac{1}{2}.d\left( A, \left( {A}'BC \right) \right)=\dfrac{1}{2}.AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án A.