Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$, đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ ; $CA=CB=a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $A{A}'$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $M{C}'$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{2a}{3}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{2a}{3}$.
Cách 1. Phương pháp tọa độ hóa
Chọn hệ trục tọa độ $Cxyz$ như hình vẽ.
Khi đó, ta có. $A\left( 0;a;0 \right)$, $B\left( a;0;0 \right)$, ${C}'\left( 0;0;2a \right)$, $M\left( 0;a;a \right)$.
+) $\overrightarrow{AB}=\left( a;-a;0 \right)$, $\overrightarrow{M{C}'}=\left( 0;-a;a \right)$, $\overrightarrow{AM}=\left( 0;0;a \right)$.
+) $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{M{C}'} \right]=\left( -{{a}^{2}};-{{a}^{2}};-{{a}^{2}} \right)$.
+) $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{M{C}'} \right].\overrightarrow{AM}=-{{a}^{3}}$.
Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $M{C}'$ là.
$d\left( AB,M{C}' \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{M{C}'} \right].\overrightarrow{AM} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{M{C}'} \right] \right|}=\dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Cách 2.
Gọi $N$ là trung điểm của $B{B}'$, $D={C}'N\cap BC$, $E={C}'M\cap AC$.
Ta có $NB \text{// }C{C}'$ và $NB=\dfrac{1}{2}C{C}'$ nên $B$ là trung điểm của $CD$ hay $CD=2BC=2a$.
$MA \text{// }C{C}'$ và $MA=\dfrac{1}{2}C{C}'$ nên $A$ là trung điểm của $CE$ hay $CE=2CA=2a$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB \text{//}MN \\
& MN\subset \left( {C}'DE \right) \\
& AB\not\subset \left( {C}'DE \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB \text{// }\left( {C}'DE \right)$.
Khi đó $d\left( AB,M{C}' \right)=d\left( AB,\left( {C}'DE \right) \right)=d\left( A,\left( {C}'DE \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( C,\left( {C}'DE \right) \right)=\dfrac{1}{2}h$.
Vì $C{C}'DE$ là tứ diện vuông tại $C$ nên $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{C{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{{{C}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{4{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow h=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $d\left( AB,M{C}' \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Cách 3.
+ Gọi $E$ là trung điểm của $C{C}'$.
+ Ta có ${C}'M \text{//} AE\Rightarrow {C}'M \text{//} \left( EAB \right)$.
$\Rightarrow d\left( {C}'M,AB \right)=d\left( {C}'M,\left( EAB \right) \right)=d\left( {C}',\left( EAB \right) \right)=d\left( C,\left( EAB \right) \right)=h$.
Vì $CEAB$ là tứ diện vuông tại $C$
nên ta có $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{C{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $d\left( {C}'M,AB \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Chọn hệ trục tọa độ $Cxyz$ như hình vẽ.
Khi đó, ta có. $A\left( 0;a;0 \right)$, $B\left( a;0;0 \right)$, ${C}'\left( 0;0;2a \right)$, $M\left( 0;a;a \right)$.
+) $\overrightarrow{AB}=\left( a;-a;0 \right)$, $\overrightarrow{M{C}'}=\left( 0;-a;a \right)$, $\overrightarrow{AM}=\left( 0;0;a \right)$.
+) $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{M{C}'} \right]=\left( -{{a}^{2}};-{{a}^{2}};-{{a}^{2}} \right)$.
+) $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{M{C}'} \right].\overrightarrow{AM}=-{{a}^{3}}$.
Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $M{C}'$ là.
$d\left( AB,M{C}' \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{M{C}'} \right].\overrightarrow{AM} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{M{C}'} \right] \right|}=\dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Cách 2.
Gọi $N$ là trung điểm của $B{B}'$, $D={C}'N\cap BC$, $E={C}'M\cap AC$.
Ta có $NB \text{// }C{C}'$ và $NB=\dfrac{1}{2}C{C}'$ nên $B$ là trung điểm của $CD$ hay $CD=2BC=2a$.
$MA \text{// }C{C}'$ và $MA=\dfrac{1}{2}C{C}'$ nên $A$ là trung điểm của $CE$ hay $CE=2CA=2a$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB \text{//}MN \\
& MN\subset \left( {C}'DE \right) \\
& AB\not\subset \left( {C}'DE \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB \text{// }\left( {C}'DE \right)$.
Khi đó $d\left( AB,M{C}' \right)=d\left( AB,\left( {C}'DE \right) \right)=d\left( A,\left( {C}'DE \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( C,\left( {C}'DE \right) \right)=\dfrac{1}{2}h$.
Vì $C{C}'DE$ là tứ diện vuông tại $C$ nên $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{C{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{{{C}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{4{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow h=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $d\left( AB,M{C}' \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Cách 3.
+ Gọi $E$ là trung điểm của $C{C}'$.
+ Ta có ${C}'M \text{//} AE\Rightarrow {C}'M \text{//} \left( EAB \right)$.
$\Rightarrow d\left( {C}'M,AB \right)=d\left( {C}'M,\left( EAB \right) \right)=d\left( {C}',\left( EAB \right) \right)=d\left( C,\left( EAB \right) \right)=h$.
Vì $CEAB$ là tứ diện vuông tại $C$
nên ta có $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{C{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $d\left( {C}'M,AB \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án A.