Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=AC=a$, $A{A}^{\prime }=\sqrt{2}a$. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ...

Khối cầu ngoại tiếp tứ diện $A{B}^{\prime }{A}^{\prime }C$ là khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $BAC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$
Gọi $D,E$ lần lượt là trung điểm của $BC,B^{\prime }{C}^{\prime };O$ là trung điểm của $DE$
$\Rightarrow O$ là tâm khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $BAC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (do đáy là $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông cân tại $A)$
Ta có: $OD={\displaystyle \frac{A{A}^{\prime }}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$ và $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}\Rightarrow AD={\displaystyle \frac{BC}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$
$\Rightarrow$ Bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là $R=OA=\sqrt{A{D}^2+O{D}^2}=\sqrt{a^2}=a$
Vậy thể tích khối cầu cần tính là $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{4\pi a^3}{3}}.$