Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=AC=a$, $A{A}'=\sqrt{2}a$. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện $A{B}'{A}'C$ là
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $4\pi {{a}^{3}}$.
C. $\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Khối cầu ngoại tiếp tứ diện $AB'A'C$ là khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $BAC.A'B'C'$
Gọi $D,E$ lần lượt là trung điểm của $BC,B'C';O$ là trung điểm của $DE$
$\Rightarrow O$ là tâm khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $BAC.A'B'C'$ (do đáy là $\Delta ABC$ vuông cân tại $A)$
Ta có: $OD=\dfrac{AA'}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow AD=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow $ Bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là $R=OA=\sqrt{A{{D}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}}=a$
Vậy thể tích khối cầu cần tính là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}.$
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $4\pi {{a}^{3}}$.
C. $\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Khối cầu ngoại tiếp tứ diện $AB'A'C$ là khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $BAC.A'B'C'$
Gọi $D,E$ lần lượt là trung điểm của $BC,B'C';O$ là trung điểm của $DE$
$\Rightarrow O$ là tâm khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $BAC.A'B'C'$ (do đáy là $\Delta ABC$ vuông cân tại $A)$
Ta có: $OD=\dfrac{AA'}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow AD=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow $ Bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là $R=OA=\sqrt{A{{D}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}}=a$
Vậy thể tích khối cầu cần tính là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án A.