Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a.$ Góc giữa đường thẳng $A{B}'$ và mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng $30{}^\circ $. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và ${B}'{C}'$. Mặt phẳng $\left( {A}'MN \right)$ cắt $BC$ tại $P$. Thể tích khối đa diện $MBP.{A}'{B}'N$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{32}.$
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{96}.$
C. $\dfrac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{32}.$
D. $\dfrac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{96}.$
Gọi $D$ là trung điểm $BC$, $I$ là giao điểm của $AM$ và $B{B}'$.
Theo giả thiết thì: $\left\{ \begin{aligned}
& \widehat{A{B}'D}=30{}^\circ \\
& IN\cap BC=P \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}={{V}_{I.{A}'{B}'N}}-{{V}_{I.MBP}}$
Khi đó: $A{B}'=\dfrac{AD}{\sin 30{}^\circ }=a\sqrt{3}\Rightarrow A{A}'=\sqrt{A{{{{B}'}}^{2}}-{A}'{{{{B}'}}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
Do $M$ là trung điểm $AB$ nên $B$ là trung điểm $I{B}'$ thì: $d\left( I,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=2.d\left( \left( ABC \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)$ và $P$ là trung điểm $BD$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{I.MBP}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{MBP}}.d\left( I,\left( MBP \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{8}{{S}_{ABC}}.d\left( \left( ABC \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\dfrac{1}{24}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}} \\
& {{V}_{I.{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{{A}'{B}'N}}.d\left( I,\left( {A}'{B}'N \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}.2d\left( \left( ABC \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}={{V}_{I.{A}'{B}'N}}-{{V}_{I.MBP}}=\dfrac{7}{24}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{96}$.
A. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{32}.$
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{96}.$
C. $\dfrac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{32}.$
D. $\dfrac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{96}.$
Theo giả thiết thì: $\left\{ \begin{aligned}
& \widehat{A{B}'D}=30{}^\circ \\
& IN\cap BC=P \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}={{V}_{I.{A}'{B}'N}}-{{V}_{I.MBP}}$
Khi đó: $A{B}'=\dfrac{AD}{\sin 30{}^\circ }=a\sqrt{3}\Rightarrow A{A}'=\sqrt{A{{{{B}'}}^{2}}-{A}'{{{{B}'}}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
Do $M$ là trung điểm $AB$ nên $B$ là trung điểm $I{B}'$ thì: $d\left( I,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=2.d\left( \left( ABC \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)$ và $P$ là trung điểm $BD$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{I.MBP}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{MBP}}.d\left( I,\left( MBP \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{8}{{S}_{ABC}}.d\left( \left( ABC \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\dfrac{1}{24}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}} \\
& {{V}_{I.{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{{A}'{B}'N}}.d\left( I,\left( {A}'{B}'N \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}.2d\left( \left( ABC \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}={{V}_{I.{A}'{B}'N}}-{{V}_{I.MBP}}=\dfrac{7}{24}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{96}$.
Đáp án D.