Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B$. $AB=A{A}'=2a,$ $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B{B}'$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $A{C}'$ bằng
A. $a\sqrt{3}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
D. $\dfrac{a}{2}$
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: $B\left( 0 ; 0 ; 0 \right)$, $A\left( 0 ; 2a ; 0 \right)$, $M\left( a ; 0 ; 0 \right)$, $N\left( 0 ; 0 ; a \right)$, ${C}'\left( 2a ; 0 ; 2a \right)$.
$\overrightarrow{MN}\left( -a ; 0 ; a \right)$, $\overrightarrow{A{C}'}\left( 2a ; -2a ; 2a \right)$, $\overrightarrow{AM}\left( a ; -2a ; 0 \right)$, $\left[ \overrightarrow{MN} ; \overrightarrow{A{C}'} \right]=\left( 2{{a}^{2}} ; 4{{a}^{2}} ; 2{{a}^{2}} \right)$, $\left[ \overrightarrow{MN} ; \overrightarrow{A{C}'} \right].\overrightarrow{AM}=-6{{a}^{3}}$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $A{C}'$ là: $d=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{MN} ; \overrightarrow{A{C}'} \right].\overrightarrow{AM} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{MN} ; \overrightarrow{A{C}'} \right] \right|}=\dfrac{6{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}\sqrt{24}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
A. $a\sqrt{3}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
D. $\dfrac{a}{2}$
$\overrightarrow{MN}\left( -a ; 0 ; a \right)$, $\overrightarrow{A{C}'}\left( 2a ; -2a ; 2a \right)$, $\overrightarrow{AM}\left( a ; -2a ; 0 \right)$, $\left[ \overrightarrow{MN} ; \overrightarrow{A{C}'} \right]=\left( 2{{a}^{2}} ; 4{{a}^{2}} ; 2{{a}^{2}} \right)$, $\left[ \overrightarrow{MN} ; \overrightarrow{A{C}'} \right].\overrightarrow{AM}=-6{{a}^{3}}$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $A{C}'$ là: $d=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{MN} ; \overrightarrow{A{C}'} \right].\overrightarrow{AM} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{MN} ; \overrightarrow{A{C}'} \right] \right|}=\dfrac{6{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}\sqrt{24}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Đáp án C.