Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $A{A}'=AB=AC=1$ và $\widehat{BAC}=120{}^\circ .$ Gọi I là trung điểm cạnh $C{C}'$. Côsin góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( A{B}'I \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{370}}{20}.$
B. $\dfrac{\sqrt{70}}{10}.$
C. $\dfrac{\sqrt{30}}{20}.$
D. $\dfrac{\sqrt{30}}{10}.$
$ABC.{A}'{B}'{C}'$ là lăng trụ đứng nên các điểm $B,A,C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm ${B}',A,I$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( A{B}'I \right)$ thì $\cos \alpha =\dfrac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{A{B}'I}}}$.
Tam giác $ABC$ có $AB=AC=1$ và góc $\widehat{BAC}=120{}^\circ $ $\Rightarrow {B}'{C}'=BC=\sqrt{3}$.
Có: $A{{I}^{2}}=A{{C}^{2}}+I{{C}^{2}}=1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}$ ; ${B}'{{I}^{2}}={B}'{{{C}'}^{2}}+I{{{C}'}^{2}}=3+\dfrac{1}{4}=\dfrac{13}{4}$ ; $\text{ }A{{{B}'}^{2}}=2$.
$\Rightarrow A{{I}^{2}}+A{{{B}'}^{2}}=\dfrac{13}{4}={B}'{{I}^{2}}\Rightarrow $ Tam giác $A{B}'I$ vuông tại $A$.
${{S}_{A{B}'I}}=\dfrac{1}{2}A{B}'.AI=\dfrac{1}{2}.\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$.
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}.1.1.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Vậy, $\cos \alpha =\dfrac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{A{B}'I}}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{\sqrt{10}}{4}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$.
A. $\dfrac{\sqrt{370}}{20}.$
B. $\dfrac{\sqrt{70}}{10}.$
C. $\dfrac{\sqrt{30}}{20}.$
D. $\dfrac{\sqrt{30}}{10}.$
$ABC.{A}'{B}'{C}'$ là lăng trụ đứng nên các điểm $B,A,C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm ${B}',A,I$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( A{B}'I \right)$ thì $\cos \alpha =\dfrac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{A{B}'I}}}$.
Tam giác $ABC$ có $AB=AC=1$ và góc $\widehat{BAC}=120{}^\circ $ $\Rightarrow {B}'{C}'=BC=\sqrt{3}$.
Có: $A{{I}^{2}}=A{{C}^{2}}+I{{C}^{2}}=1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}$ ; ${B}'{{I}^{2}}={B}'{{{C}'}^{2}}+I{{{C}'}^{2}}=3+\dfrac{1}{4}=\dfrac{13}{4}$ ; $\text{ }A{{{B}'}^{2}}=2$.
$\Rightarrow A{{I}^{2}}+A{{{B}'}^{2}}=\dfrac{13}{4}={B}'{{I}^{2}}\Rightarrow $ Tam giác $A{B}'I$ vuông tại $A$.
${{S}_{A{B}'I}}=\dfrac{1}{2}A{B}'.AI=\dfrac{1}{2}.\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$.
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}.1.1.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Vậy, $\cos \alpha =\dfrac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{A{B}'I}}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{\sqrt{10}}{4}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$.
Đáp án D.