Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $A{A}'=2a,$ tam giác $ABC$ vuông cân và $AB=BC=a$. Khoảng cách từ điểm ${C}'$ đến mặt phẳng $\left( A{B}'C \right)$ bằng
A. $\dfrac{2a}{3}$.
B. $\dfrac{3}{2a}$.
C. $a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
D. $\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$.
Tứ giác $BC{C}'{B}'$ là hình chữ nhật, nên $B{C}'$ và $B'C$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow d\left( {C}',\left( A{B}'C \right) \right)=d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)$.
Dựng các đường cao $BI, BH$ của các tam giác $\Delta ABC, $ $\Delta B{B}'I$.
$\Rightarrow BH\bot \left( A{B}'C \right)$
Ta có: $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow BH=\dfrac{2a}{3}$.
$\Rightarrow d\left( {C}',\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{2a}{3}.$
A. $\dfrac{2a}{3}$.
B. $\dfrac{3}{2a}$.
C. $a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
D. $\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$.
Tứ giác $BC{C}'{B}'$ là hình chữ nhật, nên $B{C}'$ và $B'C$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow d\left( {C}',\left( A{B}'C \right) \right)=d\left( B,\left( A{B}'C \right) \right)$.
Dựng các đường cao $BI, BH$ của các tam giác $\Delta ABC, $ $\Delta B{B}'I$.
$\Rightarrow BH\bot \left( A{B}'C \right)$
Ta có: $\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow BH=\dfrac{2a}{3}$.
$\Rightarrow d\left( {C}',\left( A{B}'C \right) \right)=\dfrac{2a}{3}.$
Đáp án A.