Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’, tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC’.

Phương pháp giải:
- Gọi N là trung điểm của CC' , chứng minh $d(AM;B{C}^{\prime })=d(B{C}^{\prime };\left(AMN\right))=d(B;\left(AMN\right))$.
- Đổi $d(B;\left(AMN\right))$ sang $d(C;\left(AMN\right))$.
- Dựng và tính khoảng cách, sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng.
Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của CC' $\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác BCC'.
$\Rightarrow MN//B{C}^{\prime }\Rightarrow B{C}^{\prime }//\left(AMN\right)\supset AM$.
Khi đó ta có $d(AM;B{C}^{\prime })=d(B{C}^{\prime };\left(AMN\right))=d(B;\left(AMN\right))$.
Ta có: $BC\cap \left(AMN\right)=M\Rightarrow {\displaystyle \frac{d(B;\left(AMN\right))}{d(C;\left(AMN\right))}}={\displaystyle \frac{BM}{CM}}=1$ $\Rightarrow d(B;\left(AMN\right))=d(C;\left(AMN\right))$.
Trong (BCC'B') kẻ $CH\mathrm{\perp }MN(H\in MN)$ ta có:
$\{\begin{array}{l}AM\mathrm{\perp }CM\\ AM\mathrm{\perp }CN\end{array}\Rightarrow AM\mathrm{\perp }\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)\Rightarrow AM\mathrm{\perp }CH$
$\{\begin{array}{l}CH\mathrm{\perp }AM\\ CH\mathrm{\perp }MN\end{array}\Rightarrow CH\mathrm{\perp }\left(AMN\right)\Rightarrow d(C;\left(AMN\right))=CH$
$\Rightarrow d(AM;B{C}^{\prime })=CH$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CMN có: $CH={\displaystyle \frac{CM.CN}{\sqrt{C{M}^2+C{N}^2}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{2}}.{\displaystyle \frac{a}{2}}}{\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{a^2}{4}}}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{4}}$.
Vậy $d(AM;B{C}^{\prime })={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{4}}$.