Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’, tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC’.

Phương pháp giải:
- Gọi N là trung điểm của CC' , chứng minh $d\left( AM;B{C}' \right)=d\left( B{C}';\left( AMN \right) \right)=d\left( B;\left( AMN \right) \right)$.
- Đổi $d\left( B;\left( AMN \right) \right)$ sang $d\left( C;\left( AMN \right) \right)$.
- Dựng và tính khoảng cách, sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng.
Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của CC' $\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác BCC'.
$\Rightarrow MN//B{C}'\Rightarrow B{C}'//\left( AMN \right)\supset AM$.
Khi đó ta có $d\left( AM;B{C}' \right)=d\left( B{C}';\left( AMN \right) \right)=d\left( B;\left( AMN \right) \right)$.
Ta có: $BC\cap \left( AMN \right)=M\Rightarrow \dfrac{d\left( B;\left( AMN \right) \right)}{d\left( C;\left( AMN \right) \right)}=\dfrac{BM}{CM}=1$ $\Rightarrow d\left( B;\left( AMN \right) \right)=d\left( C;\left( AMN \right) \right)$.
Trong (BCC'B') kẻ $CH\bot MN\left( H\in MN \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AM\bot CM \\
AM\bot CN \\
\end{array} \right.\Rightarrow AM\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\Rightarrow AM\bot CH$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
CH\bot AM \\
CH\bot MN \\
\end{array} \right.\Rightarrow CH\bot \left( AMN \right)\Rightarrow d\left( C;\left( AMN \right) \right)=CH$
$\Rightarrow d\left( AM;B{C}' \right)=CH$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CMN có: $CH=\dfrac{CM.CN}{\sqrt{C{{M}^{2}}+C{{N}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
Vậy $d\left( AM;B{C}' \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.