Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đều $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Biết cosin góc giữa hai mặt phẳng $\left(A B C^{\prime}\right)$ và $\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)$ bằng $\dfrac{1}{2 \sqrt{3}}$ và khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left(A B C^{\prime}\right)$ bằng $a$. Thể tích khối lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ bằng
A. $\dfrac{3 a^{3} \sqrt{2}}{4}$
B. $\dfrac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{3 a^{3} \sqrt{2}}{2}$
D. $\dfrac{3 a^{3} \sqrt{2}}{8}$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.
Gọi $O$ là trung điểm của $AB$, $E$ là trung điểm của $BC$.
Trong mặt phẳng $(C{C}'O)$ kẻ $CH\bot {C}'O$ tại $H$ Khi đó $d\left( {{C}_{.}}\left( ABC' \right) \right)=CH=a$.
$\dfrac{1}{C{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{C'{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{O}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{{{C}^{\prime }}{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{C{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{C{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{2x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{3{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}{{x}^{2}}}$ $\Rightarrow C^{\prime \prime} C=\dfrac{\sqrt{3 x^{2}-a^{2}}}{a x \sqrt{3}}$ Khi đó $A(-x ; 0 ; 0), B(x ; 0 ; 0), C(0 ; x \sqrt{3}: 0), C \cdot\left(0 ; x \sqrt{3} ; \dfrac{\sqrt{3 x^{2}-a^{2}}}{a x \sqrt{3}}\right), E\left(\dfrac{x}{2} ; \dfrac{x \sqrt{3}}{2} ; 0\right)$
$\overrightarrow{\mathrm{n}}_{1}=\left[\overline{\mathrm{OC}^{2}}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}\right]=\left(0,-\dfrac{2 \mathrm{ax}^{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{4}}}: 2 \mathrm{x}^{2} \sqrt{3}\right)$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(A B C^{\prime}\right)$
$\overrightarrow{n_{2}}=\overline{A E}=\left(\dfrac{3 x}{2} ; \dfrac{x \sqrt{3}}{2} ; 0\right)$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)$
$\cos \alpha =\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| {{n}_{1}}.{{n}_{2}} \right|}{\left| {{n}_{1}} \right|{{n}_{2}}\mid }=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| \dfrac{3a{{x}^{3}}}{\sqrt{3{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}} \right|}{\sqrt{\dfrac{12{{a}^{2}}{{x}^{4}}}{3{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}+12{{x}^{2}}}.\sqrt{\dfrac{9{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}}}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=a$
${{V}_{\text{ABC}\text{.A }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ C }\!\!'\!\!\text{ }}}={{C}^{\prime }}C.{{S}_{\Delta ABC}}=$ $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}.$
A. $\dfrac{3 a^{3} \sqrt{2}}{4}$
B. $\dfrac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{3 a^{3} \sqrt{2}}{2}$
D. $\dfrac{3 a^{3} \sqrt{2}}{8}$
Gọi $O$ là trung điểm của $AB$, $E$ là trung điểm của $BC$.
Trong mặt phẳng $(C{C}'O)$ kẻ $CH\bot {C}'O$ tại $H$ Khi đó $d\left( {{C}_{.}}\left( ABC' \right) \right)=CH=a$.
$\dfrac{1}{C{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{C'{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{O}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{{{C}^{\prime }}{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{C{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{C{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{2x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{3{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}{{x}^{2}}}$ $\Rightarrow C^{\prime \prime} C=\dfrac{\sqrt{3 x^{2}-a^{2}}}{a x \sqrt{3}}$ Khi đó $A(-x ; 0 ; 0), B(x ; 0 ; 0), C(0 ; x \sqrt{3}: 0), C \cdot\left(0 ; x \sqrt{3} ; \dfrac{\sqrt{3 x^{2}-a^{2}}}{a x \sqrt{3}}\right), E\left(\dfrac{x}{2} ; \dfrac{x \sqrt{3}}{2} ; 0\right)$
$\overrightarrow{\mathrm{n}}_{1}=\left[\overline{\mathrm{OC}^{2}}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}\right]=\left(0,-\dfrac{2 \mathrm{ax}^{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{4}}}: 2 \mathrm{x}^{2} \sqrt{3}\right)$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(A B C^{\prime}\right)$
$\overrightarrow{n_{2}}=\overline{A E}=\left(\dfrac{3 x}{2} ; \dfrac{x \sqrt{3}}{2} ; 0\right)$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)$
$\cos \alpha =\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| {{n}_{1}}.{{n}_{2}} \right|}{\left| {{n}_{1}} \right|{{n}_{2}}\mid }=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| \dfrac{3a{{x}^{3}}}{\sqrt{3{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}} \right|}{\sqrt{\dfrac{12{{a}^{2}}{{x}^{4}}}{3{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}+12{{x}^{2}}}.\sqrt{\dfrac{9{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}}}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=a$
${{V}_{\text{ABC}\text{.A }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ C }\!\!'\!\!\text{ }}}={{C}^{\prime }}C.{{S}_{\Delta ABC}}=$ $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}.$
Đáp án C.