Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ có hai đáy là đường tròn tâm $O$ và $O',$ bán kính đáy bằng chiều cao bằng $4a.$ Trên đường tròn đáy có tâm $O$ lấy điểm $A,D;$ trên đường tròn $O'$ lấy điểm $B,C$ sao cho $AB$ song song với $CD$ và $AB$ không cắt $OO'.$ Tính độ dài $AD$ để thể tích khối chóp $O'.ABCD$ đạt giá trị lớn nhất?
A. $AD=4a\sqrt{2}.$
B. $AD=8a.$
C. $AD=2a.$
D. $AD=2a\sqrt{3}.$
Từ $B,C$ kẻ các đường thẳng song song với đường sinh của hình trụ cắt đường tròn tâm $O$ lần lượt tại $B',C'.$
Vì $AD$ và $BC$ là giao tuyến của mặt phẳng $\left( AB;CD \right)$ với hai mặt phẳng song song nên $AD//BC.$
Suy ra: $AD//B'C'$ hay $AB'C'D$ là hình bình hành nộp tiếp nên nó là hình chữ nhật.
$\left\{ \begin{aligned}
& B'C'\bot DC' \\
& B'C'\bot CC' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B'C'\bot CD $ mà $ BC//B'C' $ suy ra $ BC\bot CD.$
Vậy tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.
Đặt $BC=AD=2x,$ gọi $I,I'$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OI'\bot BC \\
& OO'\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( OO'I' \right)\Rightarrow \left( OO'I' \right)\bot \left( ABCD \right) $ và có giao tuyến $ I'I.$
Từ $O'$ kẻ đường vuông góc với $I'I$ tại $H,$ suy ra $O'H$ là đường cao của hình chóp $O'.ABCD$.
Gọi $J$ là giao điểm của $OO'$ và $I'I,J$ là trung điểm của $OO'.$
Ta có: $OI=O'I'=\sqrt{O'{{C}^{2}}-I'{{C}^{2}}}=\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}.$
$DC'=2.OI=2\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow DC=\sqrt{DC{{'}^{2}}+CC{{'}^{2}}}=\sqrt{4\left( 16{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+16{{a}^{2}}}=2\sqrt{20{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
$\dfrac{1}{O'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O'{{J}^{2}}}+\dfrac{1}{O'I{{'}^{2}}}=\dfrac{O'{{J}^{2}}+O'I{{'}^{2}}}{O'{{J}^{2}}.O'I{{'}^{2}}}\Rightarrow O'H=\dfrac{O'J.O'I'}{\sqrt{O'{{J}^{2}}+O'I{{'}^{2}}}}=\dfrac{2a.\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{20{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}$
Suy ra: ${{V}_{O'.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.O'H.AD.DC=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{20{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}.2x.2\sqrt{20{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=\dfrac{8}{3}.x\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
$=\dfrac{8a}{3}\sqrt{{{x}^{2}}\left( 16{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}\le \dfrac{8a}{3}.\dfrac{{{x}^{2}}+16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{64{{a}^{3}}}{3}.$
Vậy $\max {{V}_{O'.ABCD}}=\dfrac{64{{a}^{3}}}{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}a\Rightarrow AD=4\sqrt{2}a.$
A. $AD=4a\sqrt{2}.$
B. $AD=8a.$
C. $AD=2a.$
D. $AD=2a\sqrt{3}.$
Từ $B,C$ kẻ các đường thẳng song song với đường sinh của hình trụ cắt đường tròn tâm $O$ lần lượt tại $B',C'.$
Vì $AD$ và $BC$ là giao tuyến của mặt phẳng $\left( AB;CD \right)$ với hai mặt phẳng song song nên $AD//BC.$
Suy ra: $AD//B'C'$ hay $AB'C'D$ là hình bình hành nộp tiếp nên nó là hình chữ nhật.
$\left\{ \begin{aligned}
& B'C'\bot DC' \\
& B'C'\bot CC' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B'C'\bot CD $ mà $ BC//B'C' $ suy ra $ BC\bot CD.$
Vậy tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.
Đặt $BC=AD=2x,$ gọi $I,I'$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OI'\bot BC \\
& OO'\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( OO'I' \right)\Rightarrow \left( OO'I' \right)\bot \left( ABCD \right) $ và có giao tuyến $ I'I.$
Từ $O'$ kẻ đường vuông góc với $I'I$ tại $H,$ suy ra $O'H$ là đường cao của hình chóp $O'.ABCD$.
Gọi $J$ là giao điểm của $OO'$ và $I'I,J$ là trung điểm của $OO'.$
Ta có: $OI=O'I'=\sqrt{O'{{C}^{2}}-I'{{C}^{2}}}=\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}.$
$DC'=2.OI=2\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow DC=\sqrt{DC{{'}^{2}}+CC{{'}^{2}}}=\sqrt{4\left( 16{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+16{{a}^{2}}}=2\sqrt{20{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
$\dfrac{1}{O'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O'{{J}^{2}}}+\dfrac{1}{O'I{{'}^{2}}}=\dfrac{O'{{J}^{2}}+O'I{{'}^{2}}}{O'{{J}^{2}}.O'I{{'}^{2}}}\Rightarrow O'H=\dfrac{O'J.O'I'}{\sqrt{O'{{J}^{2}}+O'I{{'}^{2}}}}=\dfrac{2a.\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{20{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}$
Suy ra: ${{V}_{O'.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.O'H.AD.DC=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{20{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}.2x.2\sqrt{20{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=\dfrac{8}{3}.x\sqrt{16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
$=\dfrac{8a}{3}\sqrt{{{x}^{2}}\left( 16{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}\le \dfrac{8a}{3}.\dfrac{{{x}^{2}}+16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{64{{a}^{3}}}{3}.$
Vậy $\max {{V}_{O'.ABCD}}=\dfrac{64{{a}^{3}}}{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16{{a}^{2}}-{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}a\Rightarrow AD=4\sqrt{2}a.$
Đáp án A.