Cho hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ đáy là hình bình hành. $AC=BC=a,CD=a\sqrt{2},$ $AC'=a\sqrt{3},$ $\angle CA'B'=\angle A'D'C={{90}^{0}}.$ Thể...

Cách giải:

Đặt $AA'=x\left( x>0 \right).$
Xét tam giác $ACD$ có $A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}=2{{a}^{2}}=C{{D}^{2}}\Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại $A$ (định lí Pytago đảo).
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AD\bot AC \\
& AD\bot CD'\left( doC'\bot A'D' \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AD\bot \left( ACD' \right)\Rightarrow AD\bot AD'.$
$\Rightarrow AD{{'}^{2}}=DD{{'}^{2}}-A{{D}^{2}}={{x}^{2}}-{{a}^{2}}.$
Ta lại có $A'{{D}^{2}}=AD{{'}^{2}}+{{\left( 2AD \right)}^{2}}$
$\Rightarrow A'{{D}^{2}}=\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)+4{{a}^{2}}={{x}^{2}}+3{{a}^{2}}\left( 1 \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& A'C\bot A'B'\left( gt \right) \\
& A'B'//CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A'C\bot CD.$
$\Rightarrow A'{{D}^{2}}=A'{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}.$
Ta lại có: $A'{{C}^{2}}+AC{{'}^{2}}=2\left( AA{{'}^{2}}+A{{C}^{2}} \right)\Rightarrow A'{{C}^{2}}+3{{a}^{2}}=2\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)\Rightarrow A'{{C}^{2}}=2{{x}^{2}}-{{a}^{2}}$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+3{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}-{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}$
$\Rightarrow {{x}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow x=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow A'C=\sqrt{2.2{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3},CD'=\sqrt{A'{{C}^{2}}-A'D{{'}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2},AD{{'}^{2}}=\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=a.$
$\Rightarrow \Delta ACD'$ vuông cân tại $A.$
Vậy ${{V}_{BCDA'}}={{V}_{A'.BCD}}={{V}_{D'.ACD}}={{V}_{D.ACD'}}=\dfrac{1}{3}AD.{{S}_{ACD'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.a.a.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$