Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$.Gọi $M,N,P$ lần lượt nằm trên các...

Phương pháp:
- Phân chia các khối đa diện.
- So sánh chiều cao, diện tích đáy, từ đó suy ra tỉ số thể tích các khối đa diện so với $V={{V}_{ABC.A'B'C'}}$.
Cách giải:

Giả sử $AB\cap \left( MNP \right)=Q$, khi đó ta có: $\left( MNP \right)\cap \left( ABC \right)=PQ.~$
Mà $\left( MNP \right)\cap \left( A'B'C' \right)=MN,\left( ABC \right)//\left( A'B'C~' \right)~\Rightarrow ~MN//PQ.~$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( MNP \right)\cap \left( ABB'A' \right)=MQ \\
& \left( MNP \right)\cap \left( BCC'B' \right)=NP \\
& \left( ABB'A' \right)\cap \left( BCC'B' \right)=BB' \\
\end{aligned} \right.$
⇒ MQ, NP, BB' đồng quy tại S.
Khi đó ta có: ${{V}_{1}}={{V}_{B'MN.BQP}}={{V}_{S.B'MN}}-{{V}_{S.BQP}}$.
Đặt $V={{V}_{ABC.A'B'C'}}.~$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{SB}{SB'}=\dfrac{BP}{B'N}=\dfrac{\dfrac{1}{3}BC}{\dfrac{2}{3}B'C'}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow B$ là trung điểm của SB' .
Ta có: $\dfrac{{{S}_{B'MN}}}{{{S}_{B'A'C'}}}=\dfrac{B'M}{B'A'}.\dfrac{B'N}{B'C'}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.B'MN}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{SB'}{BB'}.\dfrac{{{S}_{B'MN}}}{{{S}_{A'B'C'}}}=\dfrac{1}{3}.2.\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}$
$\Rightarrow {{V}_{S.B'MN}}=\dfrac{2}{9}V$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{BQ}{BA}=\dfrac{BQ}{2BM'}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{SB}{SB'}=\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{BQP}}}{{{S}_{ABC}}}=\dfrac{BQ}{BA}.\dfrac{BP}{BC}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12}$
$\begin{aligned}
& \dfrac{{{V}_{S.BQP}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{SB}{BB'}.\dfrac{{{S}_{BQP}}}{{{S}_{ABC}}}=\dfrac{1}{3}.1.\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{36} \$/I]
& \Rightarrow {{V}_{S.BQP}}=\frac{1}{36}V \$/I]
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{V}_{1}}={{V}_{S.B'MN}}-{{V}_{S.BQP}}=\dfrac{2}{9}V-\dfrac{1}{36}V=\dfrac{7}{36}V$
$\Rightarrow {{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=\dfrac{29}{36}V$
Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{7}{36}V}{\dfrac{29}{36}V}=\dfrac{7}{29}$