Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ ${ABC.A'B'C'}$. Gọi ${M,N,P}$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh ${AA',\ BB',\ CC'}$ sao cho ${AM=2MA',\ NB'=2NB,\ PC=PC'}$. Gọi ${{{V}_{1}},\ {{V}_{2}}}$ lần lượt là thể tích của hai khối đa diện ${ABCMNP,\ A'B'C'MNP}$. Tính tỉ số ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}.}$
A. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2}$.
B. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1}$.
C. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{2}}$.
D. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{2}{3}}$.
Đặt $x=\dfrac{AM}{AA'};y=\dfrac{BN}{BB'};z=\dfrac{CP}{CC'}$
Áp dụng công thức $\dfrac{{{V}_{ABCMNP}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\dfrac{x+y+z}{3}=\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}}{3}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{ABCMNP}}}{{{V}_{A'B'C'MNP}}}=1 hay \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1$
Vậy chọn B
Chứng minh công thức
$\begin{gathered}
{V_{lt}} = V;{V_{ABCMNP}} = {V_{P.ABNM}} + {V_{P.ABC}} \hfill \\
{V_{P.ABC}} = \dfrac{{CP}}{{C'C}}{V_{C'.ABC}} = \dfrac{{CP}}{{C'C}}.\dfrac{1}{3}V \left( 1 \right) \hfill \\
{V_{PABNM}} = \dfrac{1}{3}d\left( {P'\left( {ABBNM} \right)} \right).{S_{ABNM}} \hfill \\
{V_{C'.ABB'A'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C'\left( {ABB'A'} \right)} \right).{S_{ABB'A'}} \hfill \\
\end{gathered} $
Vì CC' //(ABB'A')nên d(C', (ABB'A')) = d(P,(ABNM))
Do đó $\dfrac{{{V}_{P.ABNM}}}{{{V}_{C'.ABB'A'}}}=\dfrac{{{S}_{ABNM}}}{{{S}_{ABB'A'}}}=\dfrac{\left( \dfrac{BN+MA}{2} \right)h}{AA'.h}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{AM}{AA'}+\dfrac{BN}{BB'} \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+y \right)$
$\Rightarrow {{V}_{P.ABNM}}=\dfrac{1}{2}\left( x+y \right).{{V}_{C'.ABB'A'}}=\dfrac{1}{2}.\left( x+y \right).\dfrac{2}{3}V \left( 2 \right)$
Cộng (1), (2) ta được điều cần chứng minh
A. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2}$.
B. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1}$.
C. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{2}}$.
D. ${\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{2}{3}}$.
Đặt $x=\dfrac{AM}{AA'};y=\dfrac{BN}{BB'};z=\dfrac{CP}{CC'}$
Áp dụng công thức $\dfrac{{{V}_{ABCMNP}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\dfrac{x+y+z}{3}=\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}}{3}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{ABCMNP}}}{{{V}_{A'B'C'MNP}}}=1 hay \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1$
Vậy chọn B
Chứng minh công thức
$\begin{gathered}
{V_{lt}} = V;{V_{ABCMNP}} = {V_{P.ABNM}} + {V_{P.ABC}} \hfill \\
{V_{P.ABC}} = \dfrac{{CP}}{{C'C}}{V_{C'.ABC}} = \dfrac{{CP}}{{C'C}}.\dfrac{1}{3}V \left( 1 \right) \hfill \\
{V_{PABNM}} = \dfrac{1}{3}d\left( {P'\left( {ABBNM} \right)} \right).{S_{ABNM}} \hfill \\
{V_{C'.ABB'A'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C'\left( {ABB'A'} \right)} \right).{S_{ABB'A'}} \hfill \\
\end{gathered} $
Vì CC' //(ABB'A')nên d(C', (ABB'A')) = d(P,(ABNM))
Do đó $\dfrac{{{V}_{P.ABNM}}}{{{V}_{C'.ABB'A'}}}=\dfrac{{{S}_{ABNM}}}{{{S}_{ABB'A'}}}=\dfrac{\left( \dfrac{BN+MA}{2} \right)h}{AA'.h}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{AM}{AA'}+\dfrac{BN}{BB'} \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+y \right)$
$\Rightarrow {{V}_{P.ABNM}}=\dfrac{1}{2}\left( x+y \right).{{V}_{C'.ABB'A'}}=\dfrac{1}{2}.\left( x+y \right).\dfrac{2}{3}V \left( 2 \right)$
Cộng (1), (2) ta được điều cần chứng minh
Đáp án B.