Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích $V.$ Lấy điểm $I$ thuộc cạnh $CC'$ sao cho $CI=4IC'.$ Gọi $M,N$ lần lượt là điểm đối xứng của $A',B'$...

Cách giải:

Gọi $V,V'$ lần lượt là thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và khối đa diện $CABMNC'.$
Gọi $P=AM\cap CC'.$
Vì $I$ là trung điểm của $A'M$ và $B'N$ nên $ABMN$ là hình bình hành và $A,B,M,N$ đồng phẳng.
Ta có $AA'//CC'$, mà $I$ là trung điểm của $A'M$ nên $P$ là trung điểm của $AM\left( 1 \right).$
Lại có $BB'//CC',$ mà $I$ là trung điểm của $B'N$ nên $P$ là trung điểm của $BN\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow P\in \left( ABMN \right).$
$\Rightarrow PC'=PI+IC'=\dfrac{AA'}{2}+\dfrac{CC'}{5}=\dfrac{CC'}{2}+\dfrac{CC'}{5}=\dfrac{7CC'}{10}$
$\Rightarrow \dfrac{CP}{CC'}=\dfrac{3}{10}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{C.ABMN}}}{{{V}_{C'.ABMN}}}=\dfrac{d\left( C;\left( ABMN \right) \right)}{d\left( C';\left( ABMN \right) \right)}=\dfrac{CP}{CC'}=\dfrac{3}{7}\Rightarrow {{V}_{C'.ABMN}}=\dfrac{7}{3}{{V}_{C.ABMN}}$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{C.ABP}}}{{{V}_{C.ABC}}}=\dfrac{CP}{CC'}=\dfrac{3}{10}\Rightarrow {{V}_{C.ABP}}=\dfrac{3}{10}.{{V}_{C.ABC'}}=\dfrac{3}{10}.\dfrac{V}{3}=\dfrac{V}{10}.$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{C.ABMN}}=2{{V}_{C.ABM}}=4{{V}_{C.ABP}}=4.\dfrac{V}{10}=\dfrac{2V}{5} \\
& {{V}_{C'.ABMN}}=\dfrac{7}{3}{{V}_{C.ABMN}}=\dfrac{7}{3}.\dfrac{2V}{5}=\dfrac{14V}{15} \\
\end{aligned} \right.$
$V'={{V}_{CABMNC'}}={{V}_{C'.ABMN}}+{{V}_{C.ABMN}}=\dfrac{14V}{15}+\dfrac{2V}{5}=\dfrac{4}{3}V$
Vậy $\dfrac{V}{V'}=\dfrac{3}{4}.$