Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có tam giác $ABC$ vuông tại $A,AB=a,AC=a\sqrt{2},AA'=2a.$ Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $\left( A'B'C' \right)$ trùng với trung điểm $H$ của đoạn $B'C'$ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC'$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$
C. $\dfrac{a\sqrt{15}}{3}$
D. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
A. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$
C. $\dfrac{a\sqrt{15}}{3}$
D. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
Phương pháp:
- Chứng minh $d\left( AA';BC' \right)=d\left( A;\left( BCC'B' \right) \right),$ sử dụng định lí khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhaubằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.
- Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $AK\bot BC\left( K\in BC \right),$ trong $\left( AHK \right)$ kẻ $AI\bot HK\left( I\in HK \right),$ chứng minh $AI\bot \left( BCC'B' \right)$
- Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.
Cách giải:
Ta có $AA'//BB'\Rightarrow AA'//\left( BCC'B' \right)\supset BC'\Rightarrow d\left( AA';BC' \right)=d\left( AA';\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( A;\left( BCC'B' \right) \right)$
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $AK\bot BC\left( K\in BC \right),$ trong $\left( AHK \right)$ kẻ $AI\bot HK\left( I\in HK \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AK \\
& BC\bot AH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AHK \right)\Rightarrow BC\bot AI$
$\left\{ \begin{aligned}
& AI\bot HK \\
& AI\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AI\bot \left( BCC'B' \right)$
$\Rightarrow d\left( A;\left( BCC'B' \right) \right)=AI=d\left( AA';BC' \right)$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có $AK=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Tam giác $A'B'C'$ có $B'C'=\sqrt{A'B{{'}^{2}}+A'C{{'}^{2}}}=2a\Rightarrow A'H=\dfrac{1}{2}B'C'=a.$
$\Rightarrow AH=\sqrt{AA{{'}^{2}}-A'{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AHK$ ta có: $AI=\dfrac{AH.AK}{\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3{{a}^{2}}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
Vậy $d\left( AA';BC' \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
- Chứng minh $d\left( AA';BC' \right)=d\left( A;\left( BCC'B' \right) \right),$ sử dụng định lí khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhaubằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.
- Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $AK\bot BC\left( K\in BC \right),$ trong $\left( AHK \right)$ kẻ $AI\bot HK\left( I\in HK \right),$ chứng minh $AI\bot \left( BCC'B' \right)$
- Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.
Cách giải:
Ta có $AA'//BB'\Rightarrow AA'//\left( BCC'B' \right)\supset BC'\Rightarrow d\left( AA';BC' \right)=d\left( AA';\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( A;\left( BCC'B' \right) \right)$
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $AK\bot BC\left( K\in BC \right),$ trong $\left( AHK \right)$ kẻ $AI\bot HK\left( I\in HK \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AK \\
& BC\bot AH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AHK \right)\Rightarrow BC\bot AI$
$\left\{ \begin{aligned}
& AI\bot HK \\
& AI\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AI\bot \left( BCC'B' \right)$
$\Rightarrow d\left( A;\left( BCC'B' \right) \right)=AI=d\left( AA';BC' \right)$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có $AK=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Tam giác $A'B'C'$ có $B'C'=\sqrt{A'B{{'}^{2}}+A'C{{'}^{2}}}=2a\Rightarrow A'H=\dfrac{1}{2}B'C'=a.$
$\Rightarrow AH=\sqrt{AA{{'}^{2}}-A'{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AHK$ ta có: $AI=\dfrac{AH.AK}{\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3{{a}^{2}}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
Vậy $d\left( AA';BC' \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
Đáp án D.