Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có mặt đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $AB=2a.$ Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trung điểm $H$ của $AB.$ Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính theo $a$ khoảng cách $h$ từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( ACC'A' \right).$
A. $h=\dfrac{\sqrt{51}.a}{17}$
B. $h=\dfrac{2\sqrt{51}.a}{17}$
C. $h=\dfrac{\sqrt{39}.a}{13}$
D. $h=\dfrac{2\sqrt{15}.a}{5}.$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,AM$
Vì $ABC$ là tam giác đều nên $BM\bot AC$
Mà $HN$ song song với $BM$ nên $HN\bot AC$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A'H\bot AC \\
& HN\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( A'HN \right)\Rightarrow \left( ACC'A' \right)\bot \left( A'HN \right) $ theo giao tuyến $ A'N$
Hạ $HI\bot A'N\Rightarrow HI\bot \left( ACC'A' \right)$ do đó $d\left( H;\left( ACC'A' \right) \right)=HI$
Có $d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)=2.d\left( H\left( ACC'A' \right) \right)=2HI$
Ta có $BM=a\sqrt{3};HN=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vì $A'H\bot \left( ABC \right)$ nên hình chiếu của $AA'$ trên mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ là $AH$ do đó góc giữa cạnh bên $AA'$ và mặt đáy là $\widehat{A'AH}={{60}^{0}}$
$A'H=AH.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$
$\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{A'{{H}^{2}}}\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$ Vậy $h=\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}.$
A. $h=\dfrac{\sqrt{51}.a}{17}$
B. $h=\dfrac{2\sqrt{51}.a}{17}$
C. $h=\dfrac{\sqrt{39}.a}{13}$
D. $h=\dfrac{2\sqrt{15}.a}{5}.$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,AM$
Vì $ABC$ là tam giác đều nên $BM\bot AC$
Mà $HN$ song song với $BM$ nên $HN\bot AC$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A'H\bot AC \\
& HN\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( A'HN \right)\Rightarrow \left( ACC'A' \right)\bot \left( A'HN \right) $ theo giao tuyến $ A'N$
Hạ $HI\bot A'N\Rightarrow HI\bot \left( ACC'A' \right)$ do đó $d\left( H;\left( ACC'A' \right) \right)=HI$
Có $d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)=2.d\left( H\left( ACC'A' \right) \right)=2HI$
Ta có $BM=a\sqrt{3};HN=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vì $A'H\bot \left( ABC \right)$ nên hình chiếu của $AA'$ trên mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ là $AH$ do đó góc giữa cạnh bên $AA'$ và mặt đáy là $\widehat{A'AH}={{60}^{0}}$
$A'H=AH.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$
$\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{A'{{H}^{2}}}\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$ Vậy $h=\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}.$
Đáp án D.