Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A.$ Hình chiếu vuông góc của điểm $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ trùng...

Gọi $N$ là trung điểm của $BC,G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
Hình chiếu vuông góc của điểm $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ trùng với trọng tâm tam giác $\left(ABC\right)$ nên $A^{\prime }G\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AN\mathrm{\perp }BC\left(1\right)$
Lại có $A^{\prime }G\mathrm{\perp }BC\left(2\right)$
Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có $BC\mathrm{\perp }\left(A^{\prime }AN\right)$
Trong mặt phẳng $\left(A^{\prime }AN\right)$ từ $N$ kẻ $NH\mathrm{\perp }{A}^{\prime }A$ suy ra $NH$ là ddonanj vuông góc chung của $A{A}^{\prime }$ và $BC$ do đó $d(A^{\prime }A;BC)=NH={\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{6}}a$
Đặt $AB=2x$
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $BC=2x\sqrt{2};AN={\displaystyle \frac{1}{2}}BC=x\sqrt{2}$
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow AG={\displaystyle \frac{2}{3}}AN={\displaystyle \frac{2x\sqrt{2}}{3}}$
Trong tam giác vuông $A^{\prime }AG$ có $A^{\prime }{G}^2=A^{\prime }{A}^2-A{G}^2=4a^2-{\displaystyle \frac{8x^2}{9}}$
Trong mặt phẳng $\left(A^{\prime }AN\right)$ kẻ $GK//NH\Rightarrow GK={\displaystyle \frac{2}{3}}NH={\displaystyle \frac{a\sqrt{17}}{9}}$
Trong tam giác vuông $A^{\prime }AG$ có
${\displaystyle \frac{1}{G{K}^2}}={\displaystyle \frac{1}{A^{\prime }{G}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{A{G}^2}}\iff {\displaystyle \frac{81}{17a^2}}={\displaystyle \frac{1}{4a^2-{\displaystyle \frac{8x^2}{9}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{8x^2}{9}}}}$
$\iff {\displaystyle \frac{81}{17a^2}}={\displaystyle \frac{4a^2}{(4a^2-{\displaystyle \frac{8x^2}{9}}).{\displaystyle \frac{8x^2}{9}}}}$
$\iff 64x^4-288a^2{x}^2+68a^4=0$
$\iff [\begin{array}{rl}& x^2={\displaystyle \frac{17}{4}}{a}^2\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}}a\Rightarrow AB=a\sqrt{17}\\ & x^2={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}a\Rightarrow AB=a\end{array}$
Mà $AB<a\sqrt{3}$ nên $AB=a$
Cách để tính AB
Ta có $NH.A{A}^{\prime }=A^{\prime }G.AN$ (vì cùng bằng 2 lần diện tích tam giác $A^{\prime }NA)$
$\iff {\displaystyle \frac{a\sqrt{17}}{6}}.2a=\sqrt{4a^2-{\displaystyle \frac{8x^2}{9}}}.x\sqrt{2}$
$\iff 16x^4-72a^2{x}^2+17a^4=0\iff [\begin{array}{rl}& x^2={\displaystyle \frac{17}{4}}{a}^2\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}}a\Rightarrow AB=a\sqrt{17}\\ & x^2={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}a\Rightarrow AB=a\end{array}$
Mà $AB<a\sqrt{3}$ nên $AB=a.$
$A^{\prime }{G}^2=A^{\prime }{A}^2-A{G}^2=4a^2-{\displaystyle \frac{8x^2}{9}}={\displaystyle \frac{34a^2}{9}}\Rightarrow A^{\prime }G={\displaystyle \frac{a\sqrt{34}}{3}}$
Thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là
$V=A^{\prime }G.S_{ABC}={\displaystyle \frac{a\sqrt{34}}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}.a.a={\displaystyle \frac{\sqrt{34}{a}^3}{6}}.$