Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A.$ Hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trọng tâm tam giác $\left( ABC \right).$ Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $\dfrac{\sqrt{17}}{6}a,$ cạnh bên $AA'$ bằng $2a.$ Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ biết $AB<a\sqrt{3}.$
A. $\dfrac{\sqrt{34}}{6}{{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{\sqrt{102}}{18}{{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{\sqrt{102}}{6}{{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{\sqrt{34}}{18}{{a}^{3}}.$
Gọi $N$ là trung điểm của $BC,G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
Hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trọng tâm tam giác $\left( ABC \right)$ nên $A'G\bot \left( ABC \right)$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AN\bot BC\left( 1 \right)$
Lại có $A'G\bot BC\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $BC\bot \left( A'AN \right)$
Trong mặt phẳng $\left( A'AN \right)$ từ $N$ kẻ $NH\bot A'A$ suy ra $NH$ là ddonanj vuông góc chung của $AA'$ và $BC$ do đó $d\left( A'A;BC \right)=NH=\dfrac{\sqrt{17}}{6}a$
Đặt $AB=2x$
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $BC=2x\sqrt{2};AN=\dfrac{1}{2}BC=x\sqrt{2}$
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AN=\dfrac{2x\sqrt{2}}{3}$
Trong tam giác vuông $A'AG$ có $A'{{G}^{2}}=A'{{A}^{2}}-A{{G}^{2}}=4{{a}^{2}}-\dfrac{8{{x}^{2}}}{9}$
Trong mặt phẳng $\left( A'AN \right)$ kẻ $GK//NH\Rightarrow GK=\dfrac{2}{3}NH=\dfrac{a\sqrt{17}}{9}$
Trong tam giác vuông $A'AG$ có
$\dfrac{1}{G{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{G}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{G}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{81}{17{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}-\dfrac{8{{x}^{2}}}{9}}+\dfrac{1}{\dfrac{8{{x}^{2}}}{9}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{81}{17{{a}^{2}}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{\left( 4{{a}^{2}}-\dfrac{8{{x}^{2}}}{9} \right).\dfrac{8{{x}^{2}}}{9}}$
$\Leftrightarrow 64{{x}^{4}}-288{{a}^{2}}{{x}^{2}}+68{{a}^{4}}=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{17}{4}{{a}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{17}}{2}a\Rightarrow AB=a\sqrt{17} \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{1}{4}{{a}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}a\Rightarrow AB=a \\
\end{aligned} \right.$
Mà $AB<a\sqrt{3}$ nên $AB=a$
Cách để tính AB
Ta có $NH.AA'=A'G.AN$ (vì cùng bằng 2 lần diện tích tam giác $A'NA)$
$\Leftrightarrow \dfrac{a\sqrt{17}}{6}.2a=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{8{{x}^{2}}}{9}}.x\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow 16{{x}^{4}}-72{{a}^{2}}{{x}^{2}}+17{{a}^{4}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{17}{4}{{a}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{17}}{2}a\Rightarrow AB=a\sqrt{17} \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{1}{4}{{a}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}a\Rightarrow AB=a \\
\end{aligned} \right.$
Mà $AB<a\sqrt{3}$ nên $AB=a.$
$A'{{G}^{2}}=A'{{A}^{2}}-A{{G}^{2}}=4{{a}^{2}}-\dfrac{8{{x}^{2}}}{9}=\dfrac{34{{a}^{2}}}{9}\Rightarrow A'G=\dfrac{a\sqrt{34}}{3}$
Thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là
$V=A'G.{{S}_{ABC}}=\dfrac{a\sqrt{34}}{3}.\dfrac{1}{2}.a.a=\dfrac{\sqrt{34}{{a}^{3}}}{6}.$
A. $\dfrac{\sqrt{34}}{6}{{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{\sqrt{102}}{18}{{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{\sqrt{102}}{6}{{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{\sqrt{34}}{18}{{a}^{3}}.$
Gọi $N$ là trung điểm của $BC,G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
Hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trọng tâm tam giác $\left( ABC \right)$ nên $A'G\bot \left( ABC \right)$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AN\bot BC\left( 1 \right)$
Lại có $A'G\bot BC\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $BC\bot \left( A'AN \right)$
Trong mặt phẳng $\left( A'AN \right)$ từ $N$ kẻ $NH\bot A'A$ suy ra $NH$ là ddonanj vuông góc chung của $AA'$ và $BC$ do đó $d\left( A'A;BC \right)=NH=\dfrac{\sqrt{17}}{6}a$
Đặt $AB=2x$
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $BC=2x\sqrt{2};AN=\dfrac{1}{2}BC=x\sqrt{2}$
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AN=\dfrac{2x\sqrt{2}}{3}$
Trong tam giác vuông $A'AG$ có $A'{{G}^{2}}=A'{{A}^{2}}-A{{G}^{2}}=4{{a}^{2}}-\dfrac{8{{x}^{2}}}{9}$
Trong mặt phẳng $\left( A'AN \right)$ kẻ $GK//NH\Rightarrow GK=\dfrac{2}{3}NH=\dfrac{a\sqrt{17}}{9}$
Trong tam giác vuông $A'AG$ có
$\dfrac{1}{G{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{G}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{G}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{81}{17{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}-\dfrac{8{{x}^{2}}}{9}}+\dfrac{1}{\dfrac{8{{x}^{2}}}{9}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{81}{17{{a}^{2}}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{\left( 4{{a}^{2}}-\dfrac{8{{x}^{2}}}{9} \right).\dfrac{8{{x}^{2}}}{9}}$
$\Leftrightarrow 64{{x}^{4}}-288{{a}^{2}}{{x}^{2}}+68{{a}^{4}}=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{17}{4}{{a}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{17}}{2}a\Rightarrow AB=a\sqrt{17} \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{1}{4}{{a}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}a\Rightarrow AB=a \\
\end{aligned} \right.$
Mà $AB<a\sqrt{3}$ nên $AB=a$
Cách để tính AB
Ta có $NH.AA'=A'G.AN$ (vì cùng bằng 2 lần diện tích tam giác $A'NA)$
$\Leftrightarrow \dfrac{a\sqrt{17}}{6}.2a=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{8{{x}^{2}}}{9}}.x\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow 16{{x}^{4}}-72{{a}^{2}}{{x}^{2}}+17{{a}^{4}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{17}{4}{{a}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{17}}{2}a\Rightarrow AB=a\sqrt{17} \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{1}{4}{{a}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}a\Rightarrow AB=a \\
\end{aligned} \right.$
Mà $AB<a\sqrt{3}$ nên $AB=a.$
$A'{{G}^{2}}=A'{{A}^{2}}-A{{G}^{2}}=4{{a}^{2}}-\dfrac{8{{x}^{2}}}{9}=\dfrac{34{{a}^{2}}}{9}\Rightarrow A'G=\dfrac{a\sqrt{34}}{3}$
Thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là
$V=A'G.{{S}_{ABC}}=\dfrac{a\sqrt{34}}{3}.\dfrac{1}{2}.a.a=\dfrac{\sqrt{34}{{a}^{3}}}{6}.$
Đáp án A.