Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của $A'$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm của $BC.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với các cạnh bên và cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại $D,E,F.$ Biết mặt phẳng $\left( ABB'A' \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ACC'A' \right)$ và chu vi của tam giác $DEF$ bằng 4, thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng
A. $12\left( 10-7\sqrt{2} \right)$
B. $4\left( 10+7\sqrt{2} \right)$
C. $6\left( 10-7\sqrt{2} \right)$
D. $12\left( 10+7\sqrt{2} \right)$
A. $12\left( 10-7\sqrt{2} \right)$
B. $4\left( 10+7\sqrt{2} \right)$
C. $6\left( 10-7\sqrt{2} \right)$
D. $12\left( 10+7\sqrt{2} \right)$
Cách giải:
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,B'C'.$
Gọi $K=MN\cap EF.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot A'M \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AMNA' \right)\Rightarrow BC\bot AA'\Rightarrow BC\bot BB'.$
Do $\left( DEF \right)$ $\bot BB'$ nên $EF\bot BB'.$
Trong $\left( BCC'B' \right)$ có $\left\{ \begin{aligned}
& EF\bot BB' \\
& BC\bot BB' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC//EF, $ suy ra $ K $ là trung điểm của $ EF.$
Lại có $BC\bot \left( AMNA' \right)\Rightarrow BC\bot DK\Rightarrow EF\bot DK.$ Suy ra $\Delta DEF$ cân tại $D.$
Vì $\left( ABB'A' \right)\bot \left( ACC'A' \right)\Rightarrow \angle EDF={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta DEF$ vuông cân tại $D$.
Theo bài ra ta có: ${{C}_{\Delta DEF}}=4\Rightarrow DE+DF+EF=4$
$\Rightarrow \dfrac{EF}{\sqrt{2}}+\dfrac{EF}{\sqrt{2}}+EF=4\Leftrightarrow EF=4\left( \sqrt{2}-1 \right)\Rightarrow BC=EF=4\left( \sqrt{2}-1 \right).$
Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\left( \sqrt{2}-1 \right).$
Kẻ $MH\bot AA'$ ta có $MH=DK=\dfrac{1}{2}EF=2\left( \sqrt{2}-1 \right).$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $A'MA$ ta có:
$\dfrac{1}{M{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A'{{M}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{12{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{A'{{M}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{A'{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{6{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow A'M=\sqrt{6}\left( \sqrt{2}-1 \right)$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'M.{{S}_{ABC}}=A'M.\dfrac{1}{2}AM.BC=12\left( 10-7\sqrt{2} \right).$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,B'C'.$
Gọi $K=MN\cap EF.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot A'M \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AMNA' \right)\Rightarrow BC\bot AA'\Rightarrow BC\bot BB'.$
Do $\left( DEF \right)$ $\bot BB'$ nên $EF\bot BB'.$
Trong $\left( BCC'B' \right)$ có $\left\{ \begin{aligned}
& EF\bot BB' \\
& BC\bot BB' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC//EF, $ suy ra $ K $ là trung điểm của $ EF.$
Lại có $BC\bot \left( AMNA' \right)\Rightarrow BC\bot DK\Rightarrow EF\bot DK.$ Suy ra $\Delta DEF$ cân tại $D.$
Vì $\left( ABB'A' \right)\bot \left( ACC'A' \right)\Rightarrow \angle EDF={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta DEF$ vuông cân tại $D$.
Theo bài ra ta có: ${{C}_{\Delta DEF}}=4\Rightarrow DE+DF+EF=4$
$\Rightarrow \dfrac{EF}{\sqrt{2}}+\dfrac{EF}{\sqrt{2}}+EF=4\Leftrightarrow EF=4\left( \sqrt{2}-1 \right)\Rightarrow BC=EF=4\left( \sqrt{2}-1 \right).$
Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\left( \sqrt{2}-1 \right).$
Kẻ $MH\bot AA'$ ta có $MH=DK=\dfrac{1}{2}EF=2\left( \sqrt{2}-1 \right).$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $A'MA$ ta có:
$\dfrac{1}{M{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A'{{M}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{12{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{A'{{M}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{A'{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{6{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow A'M=\sqrt{6}\left( \sqrt{2}-1 \right)$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'M.{{S}_{ABC}}=A'M.\dfrac{1}{2}AM.BC=12\left( 10-7\sqrt{2} \right).$
Đáp án A.