Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AC=a.$ Biết hình chiếu vuông góc của $B^{\prime }$ lên $\left(ABC\right)$ là...

Phương pháp:
- Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$ Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộchai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Đổi $d(G;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))$ sang $d(H;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)).$
- Xác định $d(H;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)),$ sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Cách giải:

Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$ Khi đó $HM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $HM//AC.$
Mà $AC\mathrm{\perp }AB\left(gt\right)\Rightarrow HM\mathrm{\perp }AB.$
Ta có: $\{\begin{array}{rl}& AB\mathrm{\perp }HM\\ & AB\mathrm{\perp }{B}^{\prime }H\end{array}\Rightarrow AB\mathrm{\perp }\left(B^{\prime }HM\right)\Rightarrow AB\mathrm{\perp }{B}^{\prime }M.$
Khi đó ta có: $\{\begin{array}{rl}& \left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\cap \left(ABC\right)=AB\\ & B^{\prime }M\subset \left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right),B^{\prime }M\mathrm{\perp }AB\left(cmt\right)\\ & HM\subset \left(ABC\right),HM\mathrm{\perp }AB\left(cmt\right)\end{array}$
$\Rightarrow \mathrm{\angle }(\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right);\left(ABC\right))=\mathrm{\angle }(B^{\prime }M;HM)=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }MH={60}^0.$
Gọi $I$ là hình chiếu của $H$ trên $B^{\prime }M.$ Khi đó ta có: $\{\begin{array}{rl}& HI\subset \left(B^{\prime }MH\right)\\ & AB\mathrm{\perp }\left(B^{\prime }MH\right)\end{array}\Rightarrow HI\mathrm{\perp }AB.$
$\{\begin{array}{rl}& HI\mathrm{\perp }AB\\ & HI\mathrm{\perp }{B}^{\prime }M\end{array}\Rightarrow HI\mathrm{\perp }\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\Rightarrow d(H;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))=HI.$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $B^{\prime }C{C}^{\prime }$ nên ${\displaystyle \frac{GB}{C^{\prime }B}}={\displaystyle \frac{2}{3}}.$
Ta có: $G{C}^{\prime }\cap \left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)=B$ nên ${\displaystyle \frac{d(G;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))}{d(C^{\prime };\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))}}={\displaystyle \frac{GB}{C^{\prime }B}}={\displaystyle \frac{2}{3}}.$
$\Rightarrow d(G;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))={\displaystyle \frac{2}{3}}d(C^{\prime };\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))={\displaystyle \frac{2}{3}}d(C;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))$ (do $C{C}^{\prime }//\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)).$
Lại có $CH\cap \left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)=B$ nên ${\displaystyle \frac{d(C;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))}{d(H;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))}}={\displaystyle \frac{CB}{HB}}=2\Rightarrow d(C;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))=2d(H;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)).$
$\Rightarrow d(G;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))={\displaystyle \frac{4}{3}}d(H;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))={\displaystyle \frac{4}{3}}HI.$
Xét tam giác vuông $B^{\prime }HM$, ta có $MH={\displaystyle \frac{AC}{2}}={\displaystyle \frac{a}{2}},B^{\prime }H=HM.\tan {60}^0={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $B^{\prime }HM$ ta có: $HI={\displaystyle \frac{HM.B^{\prime }H}{\sqrt{H{M}^2+B^{\prime }{H}^2}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{2}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}}{\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+{\displaystyle \frac{3a^2}{4}}}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}.$
Vậy $d(G;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))={\displaystyle \frac{4}{3}}HI={\displaystyle \frac{4}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}.$