Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AC=a.$ Biết hình chiếu vuông góc của $B'$ lên $\left( ABC \right)$ là...

Phương pháp:
- Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$ Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộchai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Đổi $d\left( G;\left( ABB'A' \right) \right)$ sang $d\left( H;\left( ABB'A' \right) \right).$
- Xác định $d\left( H;\left( ABB'A' \right) \right),$ sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Cách giải:

Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$ Khi đó $HM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $HM//AC.$
Mà $AC\bot AB\left( gt \right)\Rightarrow HM\bot AB.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot HM \\
& AB\bot B'H \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( B'HM \right)\Rightarrow AB\bot B'M.$
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABB'A' \right)\cap \left( ABC \right)=AB \\
& B'M\subset \left( ABB'A' \right),B'M\bot AB\left( cmt \right) \\
& HM\subset \left( ABC \right),HM\bot AB\left( cmt \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \angle \left( \left( ABB'A' \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( B'M;HM \right)=\angle B'MH={{60}^{0}}.$
Gọi $I$ là hình chiếu của $H$ trên $B'M.$ Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& HI\subset \left( B'MH \right) \\
& AB\bot \left( B'MH \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HI\bot AB.$
$\left\{ \begin{aligned}
& HI\bot AB \\
& HI\bot B'M \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HI\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow d\left( H;\left( ABB'A' \right) \right)=HI.$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $B'CC'$ nên $\dfrac{GB}{C'B}=\dfrac{2}{3}.$
Ta có: $GC'\cap \left( ABB'A' \right)=B$ nên $\dfrac{d\left( G;\left( ABB'A' \right) \right)}{d\left( C';\left( ABB'A' \right) \right)}=\dfrac{GB}{C'B}=\dfrac{2}{3}.$
$\Rightarrow d\left( G;\left( ABB'A' \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( C';\left( ABB'A' \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( C;\left( ABB'A' \right) \right)$ (do $CC'//\left( ABB'A' \right)).$
Lại có $CH\cap \left( ABB'A' \right)=B$ nên $\dfrac{d\left( C;\left( ABB'A' \right) \right)}{d\left( H;\left( ABB'A' \right) \right)}=\dfrac{CB}{HB}=2\Rightarrow d\left( C;\left( ABB'A' \right) \right)=2d\left( H;\left( ABB'A' \right) \right).$
$\Rightarrow d\left( G;\left( ABB'A' \right) \right)=\dfrac{4}{3}d\left( H;\left( ABB'A' \right) \right)=\dfrac{4}{3}HI.$
Xét tam giác vuông $B'HM$, ta có $MH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a}{2},B'H=HM.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $B'HM$ ta có: $HI=\dfrac{HM.B'H}{\sqrt{H{{M}^{2}}+B'{{H}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Vậy $d\left( G;\left( ABB'A' \right) \right)=\dfrac{4}{3}HI=\dfrac{4}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$