: Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C.$ Biết rằng $AB=2a,BC=\sqrt{3}a$ và mặt phẳng $\left( A'BC...

+ Gọi $H$ là trung điểm của $AC$, do tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $H$ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Lại có $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C,$ suy ra $A^{\prime }H\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$.
+ $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=A^{\prime }H.S_{\mathrm{\Delta }ABC}.$
+ $S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.BC={\displaystyle \frac{1}{2}}2a\sqrt{3a}=a^2\sqrt{3}.$
+ Gọi $J$ là trung điểm $BC,JH$ vuông góc với $BC$, do đó dễ dàng lập luận được góc $A^{\prime }JH$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(A^{\prime }BC\right)$ và $\left(ABC\right)$. Từ đó tính được: $A^{\prime }H=\tan {30}^0.JH={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}a={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}.$
+ Do đó: $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}^2\sqrt{3}=a^3.$