Google
Câu hỏi: : Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $A'A=A'B=A'C.$ Biết rằng $AB=2a,BC=\sqrt{3}a$ và mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ tạo với mặt đáy một góc ${{30}^{0}}.$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}.$
B. ${{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}.$
+ Gọi $H$ là trung điểm của $AC$, do tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $H$ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Lại có $A'A=A'B=A'C,$ suy ra $A'H\bot \left( ABC \right)$.
+ ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{\Delta ABC}}.$
+ ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}2a\sqrt{3a}={{a}^{2}}\sqrt{3}.$
+ Gọi $J$ là trung điểm $BC,JH$ vuông góc với $BC$, do đó dễ dàng lập luận được góc $A'JH$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$. Từ đó tính được: $A'H=\tan {{30}^{0}}.JH=\dfrac{1}{\sqrt{3}}a=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
+ Do đó: ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}{{a}^{2}}\sqrt{3}={{a}^{3}}.$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}.$
B. ${{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}.$
+ Gọi $H$ là trung điểm của $AC$, do tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $H$ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Lại có $A'A=A'B=A'C,$ suy ra $A'H\bot \left( ABC \right)$.
+ ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{\Delta ABC}}.$
+ ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}2a\sqrt{3a}={{a}^{2}}\sqrt{3}.$
+ Gọi $J$ là trung điểm $BC,JH$ vuông góc với $BC$, do đó dễ dàng lập luận được góc $A'JH$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( A'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$. Từ đó tính được: $A'H=\tan {{30}^{0}}.JH=\dfrac{1}{\sqrt{3}}a=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
+ Do đó: ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}{{a}^{2}}\sqrt{3}={{a}^{3}}.$
Đáp án B.