Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và hình chiếu của $A'$ lên $\left( ABC \right)$ là tâm $O$ của $\Delta ABC$. Gọi $O'$ là tâm của tam giác $A'B'C',M$ là trung điểm $AA'$ và $G$ là trọng tâm tam giác $B'C'C.$ Biết rằng ${{V}_{O'.OMG}}={{a}^{3}},$ tính chiều cao $h$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'.$
A. $h=24a\sqrt{3}$
B. $h=36a\sqrt{3}$
C. $h=9a\sqrt{3}$
D. $h=18a\sqrt{3}$
A. $h=24a\sqrt{3}$
B. $h=36a\sqrt{3}$
C. $h=9a\sqrt{3}$
D. $h=18a\sqrt{3}$
Cách giải:
Trong $\left( ABC \right)$ xác định điểm $E$ sao cho $ACEO$ là hình bình hành.
Khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CE//AO//A'O' \\
& CE=AO=A'O' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A'O'EC$ cũng là hình bình hành.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{O'G}{GE}=\dfrac{O'K}{CE}=\dfrac{O'K}{A'O'}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{O'G}{O'E}=\dfrac{1}{3}.$
Trong $\left( AOO'A' \right)$ kéo dài $O'M$ cắt $AO$ tại $D.$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có $\dfrac{O'M}{MD}=\dfrac{A'O'}{AD}=\dfrac{A'M}{AM}=1\Rightarrow \dfrac{O'M}{O'D}=\dfrac{1}{2}.$
Khi đó ta có $\dfrac{{{V}_{O'.OMG}}}{{{V}_{O'.ODE}}}=\dfrac{O'M}{O'D}.\dfrac{O'G}{O'E}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{O'.ODE}}=6{{V}_{O'.OMG}}=6{{a}^{3}}.$
Ta có ${{V}_{O'.ODE}}=\dfrac{1}{3}h.{{S}_{\Delta ODE}}=6{{a}^{3}}.$
Ta lại có ${{S}_{\Delta ODE}}=\dfrac{1}{2}d\left( E;OD \right).OD$
Ta có $OD=2OA=2.\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3},d\left( E;OD \right)=d\left( C;AO \right)=\dfrac{a}{2}.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ODE}}=\dfrac{1}{2}d\left( E;OD \right).OD=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}.$
Vậy $h=\dfrac{18{{a}^{3}}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}}=36a\sqrt{3}.$
Trong $\left( ABC \right)$ xác định điểm $E$ sao cho $ACEO$ là hình bình hành.
Khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CE//AO//A'O' \\
& CE=AO=A'O' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A'O'EC$ cũng là hình bình hành.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{O'G}{GE}=\dfrac{O'K}{CE}=\dfrac{O'K}{A'O'}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{O'G}{O'E}=\dfrac{1}{3}.$
Trong $\left( AOO'A' \right)$ kéo dài $O'M$ cắt $AO$ tại $D.$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có $\dfrac{O'M}{MD}=\dfrac{A'O'}{AD}=\dfrac{A'M}{AM}=1\Rightarrow \dfrac{O'M}{O'D}=\dfrac{1}{2}.$
Khi đó ta có $\dfrac{{{V}_{O'.OMG}}}{{{V}_{O'.ODE}}}=\dfrac{O'M}{O'D}.\dfrac{O'G}{O'E}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{O'.ODE}}=6{{V}_{O'.OMG}}=6{{a}^{3}}.$
Ta có ${{V}_{O'.ODE}}=\dfrac{1}{3}h.{{S}_{\Delta ODE}}=6{{a}^{3}}.$
Ta lại có ${{S}_{\Delta ODE}}=\dfrac{1}{2}d\left( E;OD \right).OD$
Ta có $OD=2OA=2.\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3},d\left( E;OD \right)=d\left( C;AO \right)=\dfrac{a}{2}.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ODE}}=\dfrac{1}{2}d\left( E;OD \right).OD=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}.$
Vậy $h=\dfrac{18{{a}^{3}}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}}=36a\sqrt{3}.$
Đáp án B.