Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $AA'=2\sqrt{13}a,$ tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và $\widehat{ABC}={{30}^{0}},$ góc giữa cạnh bên $CC'$ và mặt...

Phương pháp:
- Chứng minh $\angle \left( CC';\left( ABC \right) \right)=\angle \left( BB';\left( ABC \right) \right)={{60}^{0}},$ xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $B'G,BM$ ( $M$ là trung điểm của $AC).$
- Đặt $BC=x,$ tính $MC$ theo $x.$
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $BCM$ tìm $x$ theo $a.$
- Tính ${{V}_{A'.ABC}}=\dfrac{1}{3}.B'G.{{S}_{\Delta ABC}}.$
Cách giải:

Ta có $CC'//BB'\Rightarrow \angle \left( CC';\left( ABC \right) \right)=\angle \left( BB';\left( ABC \right) \right)={{60}^{0}}.$
Vì $B'G\bot \left( ABC \right)$ nên $GB$ là hình chiếu vuông góc của $B'B$ lên $\left( ABC \right)$
$\Rightarrow \angle \left( BB';\left( ABC \right) \right)=\angle \left( BB';BG \right)=\angle B'BG={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $BB'G$ ta có: $BB'=AA'=2\sqrt{13}a$
$\Rightarrow B'G=BB'.\sin {{60}^{0}}=a\sqrt{39}$ và $BG=BB'.\cos {{60}^{0}}=a\sqrt{13}.$
$\Rightarrow BM=\dfrac{3}{2}BG=\dfrac{3a\sqrt{13}}{2}.$
Đặt $BC=x\Rightarrow AC=BC.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{x\sqrt{3}}{3}\Rightarrow MC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{x\sqrt{3}}{6}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $BMC$ ta có:
$B{{M}^{2}}=M{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3a\sqrt{13}}{2} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{117{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{13{{x}^{2}}}{12}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}=27{{a}^{2}}\Rightarrow x=3a\sqrt{3}=BC$
$\Rightarrow AC=3a$
Nên $\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AC.BC=\dfrac{1}{2}.3a.3a\sqrt{3}=\dfrac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
Vậy ${{V}_{A'.ABC}}=\dfrac{1}{3}.B'G.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{39}.\dfrac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9{{a}^{3}}\sqrt{13}}{2}.$