Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ ${ABC.A'B'C'}$ có $A{A}'=A{B}'=A{C}'$. Tam giác ${ABC}$ vuông cân tại ${A}$ có ${BC=2a}$. Khoảng cách từ ${A}'$ đến mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ là $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A. ${V=\dfrac{a^3\sqrt2}{2}}$.
B. ${V=\dfrac{a^3\sqrt2}{6}}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $H$ là trung điểm ${B}'{C}'$. Vì tam giác ${A}'{B}'{C}'$ là tam giác vuông cân tại ${A}'$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ${A}'{B}'{C}'$.
Mặt khác $A{A}'=A{B}'=A{C}'$, từ đó suy ra $A, H$ cách đều 3 điểm ${A}', {B}', {C}'$ hay $AH\bot \left( {A}'{B}'{C}' \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ khi đó $AI\bot BC \left( 1 \right)$
Mà ${B}'{C}'\bot AH$ và $BC$ // ${B}'{C}'$ suy ra $BC\bot AH \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta suy ra $BC\bot \left( AHI \right)\Rightarrow \left( BC{C}'{B}' \right)\bot \left( AHI \right)$ theo giao tuyến là HI $\left( 3 \right)$
Kẻ $AK\bot HI$, ta được $AK\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$ hay $d\left( {A}', \left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( A, \left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác $AIH$ vuông tại A, ta được $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Vậy thể tích khối lăng trụ $V=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{1}{2}.{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
A. ${V=\dfrac{a^3\sqrt2}{2}}$.
B. ${V=\dfrac{a^3\sqrt2}{6}}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Mặt khác $A{A}'=A{B}'=A{C}'$, từ đó suy ra $A, H$ cách đều 3 điểm ${A}', {B}', {C}'$ hay $AH\bot \left( {A}'{B}'{C}' \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ khi đó $AI\bot BC \left( 1 \right)$
Mà ${B}'{C}'\bot AH$ và $BC$ // ${B}'{C}'$ suy ra $BC\bot AH \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta suy ra $BC\bot \left( AHI \right)\Rightarrow \left( BC{C}'{B}' \right)\bot \left( AHI \right)$ theo giao tuyến là HI $\left( 3 \right)$
Kẻ $AK\bot HI$, ta được $AK\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$ hay $d\left( {A}', \left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( A, \left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AK=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác $AIH$ vuông tại A, ta được $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Vậy thể tích khối lăng trụ $V=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{1}{2}.{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án A.