Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích $V$. Biết tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,$ các mặt bên là hình thoi, $\widehat{C{C}'{B}'}=60{}^\circ $. Gọi $G;{G}'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BC{B}'$ và tam giác ${A}'{B}'{C}'.$ Tính theo $V$ thể tích của khối đa diện $G{G}'CA$.
A. ${{V}_{G{G}'C{A}'}}=\dfrac{V}{6}$.
B. ${{V}_{G{G}'C{A}'}}=\dfrac{V}{8}$.
C. ${{V}_{G{G}'C{A}'}}=\dfrac{V}{12}$.
D. ${{V}_{G{G}'C{A}'}}=\dfrac{V}{9}$.
Ta có $BC{C}'{B}'$ là hình thoi và $\widehat{C{C}'{B}'}={{60}^{\circ }}$ nên $\Delta C{C}'{B}'$ đều.
Gọi $M$ trung điểm ${B}'{C}'$, ta có
${{S}_{\Delta GMC}}={{S}_{\Delta {B}'MC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta C{C}'{B}'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{BC{C}'{B}'}}$
Khi đó
${{V}_{{A}'.{G}'GC}}={{V}_{A'.MGC}}-{{V}_{{G}'.MGC}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{A'.MGC}}$
$=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}{{V}_{A'.BC{C}'{B}'}}$
$=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{2}{3}V=\dfrac{V}{9}$
Chọn đáp án D
B. ${{V}_{G{G}'C{A}'}}=\dfrac{V}{8}$.
C. ${{V}_{G{G}'C{A}'}}=\dfrac{V}{12}$.
D. ${{V}_{G{G}'C{A}'}}=\dfrac{V}{9}$.
Gọi $M$ trung điểm ${B}'{C}'$, ta có
${{S}_{\Delta GMC}}={{S}_{\Delta {B}'MC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta C{C}'{B}'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{BC{C}'{B}'}}$
Khi đó
${{V}_{{A}'.{G}'GC}}={{V}_{A'.MGC}}-{{V}_{{G}'.MGC}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{A'.MGC}}$
$=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}{{V}_{A'.BC{C}'{B}'}}$
$=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{2}{3}V=\dfrac{V}{9}$
Chọn đáp án D
Đáp án D.