Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có thể tích $V$ . Biết tam giác $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ , các mặt bên là hình thoi...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có thể tích

V

. Biết tam giác

A B C

là tam giác đều cạnh

a

, các mặt bên là hình thoi,

\hat{C C^{'} B^{'}} = 60^{\circ}

. Gọi

G, G^{'}

lần lượt là trọng tâm của tam giác

B C B^{'}

và

A^{'} B^{'} C^{'}

(hình vẽ bên dưới). Tính theo

V

thể tích của khối đa diện

G G^{'} C A^{'}

.

A.

V_{G G^{'} C A^{'}} = \frac{V}{6}

.
B.

V_{G G^{'} C A^{'}} = \frac{V}{8}

.
C.

V_{G G^{'} C A^{'}} = \frac{V}{12}

.
D.

V_{G G^{'} C A^{'}} = \frac{V}{9}

.

Gọi

H, K

lần lượt là trung điểm của

B B^{'}; B^{'} C^{'}

. Ta có:

\frac{V_{A^{'} G C G^{'}}}{V_{A^{'} G C K}} = \frac{A^{'} G^{'}}{A^{'} K} = \frac{2}{3}

và

\frac{V_{A^{'} G C K}}{V_{A^{'} H C K}} = \frac{C G}{C H} = \frac{2}{3}

Suy ra

V_{A^{'} G C G^{'}} = \frac{4}{9} V_{A^{'} H C K}

.
Mặt khác:

S_{Δ H C K} = \frac{1}{2} . (\frac{3}{4} C B^{'}) . (\frac{1}{2} C^{'} B) = \frac{3}{8} S_{B B^{'} C^{'} C}

Suy ra:

V_{A^{'} H C K} = \frac{1}{3} d (A^{'}, (B B^{'} C^{'} C)) . S_{Δ H C K} = \frac{1}{3} d (A^{'}, (B B^{'} C^{'} C)) . \frac{3}{8} S_{B B^{'} C^{'} C}

= \frac{3}{8} V_{A^{'} . B B^{'} C^{'} C} = \frac{3}{8} . \frac{2. V}{3} = \frac{V}{4}

. Vậy

V_{A^{'} G C G^{'}} = \frac{4}{9} . \frac{V}{4} = \frac{V}{9}

.

Đáp án D.

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có thể tích V. Biết tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, các mặt bên là hình thoi...