Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích $V$. Biết tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, các mặt bên là hình thoi, $\widehat{C{C}'{B}'}=60{}^\circ $. Gọi $G,{G}'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BC{B}'$ và ${A}'{B}'{C}'$ (hình vẽ bên dưới). Tính theo $V$ thể tích của khối đa diện $G{G}'C{A}'$.
A. ${{V}_{GG'CA'}}=\dfrac{V}{6}$.
B. ${{V}_{GG'CA'}}=\dfrac{V}{8}$.
C. ${{V}_{GG'CA'}}=\dfrac{V}{12}$.
D. ${{V}_{GG'CA'}}=\dfrac{V}{9}$.
Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm của $B{B}';{B}'{C}'$. Ta có: $\dfrac{{{V}_{{A}'GC{G}'}}}{{{V}_{{A}'GCK}}}=\dfrac{{A}'{G}'}{{A}'K}=\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{{{V}_{A'GCK}}}{{{V}_{A'HCK}}}=\dfrac{CG}{CH}=\dfrac{2}{3}$
Suy ra ${{V}_{{A}'GC{G}'}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{A'HCK}}$.
Mặt khác: ${{S}_{\Delta HCK}}=\dfrac{1}{2}.\left( \dfrac{3}{4}CB' \right).\left( \dfrac{1}{2}C'B \right)=\dfrac{3}{8}{{S}_{BB'C'C}}$
Suy ra: ${{V}_{{A}'HCK}}=\dfrac{1}{3}d\left( {A}',\left( B{B}'{C}'C \right) \right).{{S}_{\Delta HCK}}=\dfrac{1}{3}d\left( {A}',\left( B{B}'{C}'C \right) \right).\dfrac{3}{8}{{S}_{B{B}'{C}'C}}$
$=\dfrac{3}{8}{{V}_{A'.BB'C'C}}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{2.V}{3}=\dfrac{V}{4}$. Vậy ${{V}_{A'GCG'}}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{V}{4}=\dfrac{V}{9}$.
A. ${{V}_{GG'CA'}}=\dfrac{V}{6}$.
B. ${{V}_{GG'CA'}}=\dfrac{V}{8}$.
C. ${{V}_{GG'CA'}}=\dfrac{V}{12}$.
D. ${{V}_{GG'CA'}}=\dfrac{V}{9}$.
Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm của $B{B}';{B}'{C}'$. Ta có: $\dfrac{{{V}_{{A}'GC{G}'}}}{{{V}_{{A}'GCK}}}=\dfrac{{A}'{G}'}{{A}'K}=\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{{{V}_{A'GCK}}}{{{V}_{A'HCK}}}=\dfrac{CG}{CH}=\dfrac{2}{3}$
Suy ra ${{V}_{{A}'GC{G}'}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{A'HCK}}$.
Mặt khác: ${{S}_{\Delta HCK}}=\dfrac{1}{2}.\left( \dfrac{3}{4}CB' \right).\left( \dfrac{1}{2}C'B \right)=\dfrac{3}{8}{{S}_{BB'C'C}}$
Suy ra: ${{V}_{{A}'HCK}}=\dfrac{1}{3}d\left( {A}',\left( B{B}'{C}'C \right) \right).{{S}_{\Delta HCK}}=\dfrac{1}{3}d\left( {A}',\left( B{B}'{C}'C \right) \right).\dfrac{3}{8}{{S}_{B{B}'{C}'C}}$
$=\dfrac{3}{8}{{V}_{A'.BB'C'C}}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{2.V}{3}=\dfrac{V}{4}$. Vậy ${{V}_{A'GCG'}}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{V}{4}=\dfrac{V}{9}$.
Đáp án D.