Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh đều bằng...

Tam giác $AH{A}^{\prime }$ vuông tại H nên $A^{\prime }H=A{A}^{\prime }.\cos 30{}^{\circ }={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$.
Vì $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác đều cạnh a, H thuộc đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }H={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$ nên $A^{\prime }H\mathrm{\perp }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ hay H là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$.
Mặt khác $AH\mathrm{\perp }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $B^{\prime }{C}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(A{A}^{\prime }H\right)\Rightarrow A{A}^{\prime }\mathrm{\perp }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.
Kẻ đường cao HK của tam giác $A{A}^{\prime }H$ thì HK chính là khoảng cách giữa $A{A}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$.
Do $A{A}^{\prime }.HK=AH.A^{\prime }H$ nên $HK={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{2}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}}{a}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{4}}$.