Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $30{}^\circ $. Hình chiếu $H$ của điểm $A$ trên mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ thuộc đường thẳng ${B}'{C}'$. Khoảng cách giữa $A{A}'$ và ${B}'{C}'$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $a$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $a\sqrt{3}$.
Tam giác $AH{A}'$ vuông tại H nên ${A}'H=A{A}'.\cos 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vì ${A}'{B}'{C}'$ là tam giác đều cạnh a, H thuộc đường thẳng ${B}'{C}'$ và ${A}'H=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ nên ${A}'H\bot {B}'{C}'$ hay H là trung điểm của ${B}'{C}'$.
Mặt khác $AH\bot {B}'{C}'$ nên ${B}'{C}'\bot \left( A{A}'H \right)\Rightarrow A{A}'\bot {B}'{C}'$.
Kẻ đường cao HK của tam giác $A{A}'H$ thì HK chính là khoảng cách giữa $A{A}',{B}'{C}'$.
Do $A{A}'.HK=AH.{A}'H$ nên $HK=\dfrac{\dfrac{a}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $a$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $a\sqrt{3}$.
Tam giác $AH{A}'$ vuông tại H nên ${A}'H=A{A}'.\cos 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vì ${A}'{B}'{C}'$ là tam giác đều cạnh a, H thuộc đường thẳng ${B}'{C}'$ và ${A}'H=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ nên ${A}'H\bot {B}'{C}'$ hay H là trung điểm của ${B}'{C}'$.
Mặt khác $AH\bot {B}'{C}'$ nên ${B}'{C}'\bot \left( A{A}'H \right)\Rightarrow A{A}'\bot {B}'{C}'$.
Kẻ đường cao HK của tam giác $A{A}'H$ thì HK chính là khoảng cách giữa $A{A}',{B}'{C}'$.
Do $A{A}'.HK=AH.{A}'H$ nên $HK=\dfrac{\dfrac{a}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án A.