Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt bên $B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C$ là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy...

Phương pháp giải:
- Kẻ $B^{\prime }H\mathrm{\perp }BC(H\in BC)$. Chứng minh $B^{\prime }H\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$.
- Đặt $B^{\prime }H=x(x>0)$, tính $BH$ theo x.
- Gọi M là trung điểm của $AB$, trong $\left(ABC\right)$ kẻ $HK//CM(K\in AB)$, tính $B^{\prime }K$ theo x, từ đó tính $S_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}$ theo x.
- Tính $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{3}{2}}{V}_{C.AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}={\displaystyle \frac{3}{2}}{B}^{\prime }K.S_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}.d(C;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))=B^{\prime }H.S_{\mathrm{\Delta }ABC}$. Giải phương trình tìm x, từ đó tính $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$.
Giải chi tiết:

Kẻ $B^{\prime }H\mathrm{\perp }BC(H\in BC)$.
Ta có: $\{\begin{array}{l}\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)\mathrm{\perp }\left(ABC\right)=BC\\ B^{\prime }H\subset \left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right);B^{\prime }H\mathrm{\perp }BC\end{array}$ $\Rightarrow B^{\prime }H\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$.
Đặt $B^{\prime }H=x(x>0)\Rightarrow BH=\sqrt{a^2-x^2}$ (Định lí Pytago trong tam giác vuông $B{B}^{\prime }H$ ).
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ ta có $CM\mathrm{\perp }AB$ và $CM={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$ (do $\mathrm{\Delta }ABC$ đều ạnh a ).
Trong $\left(ABC\right)$ kẻ $HK//CM(K\in AB)$, áp dụng định lí Ta-lét ta có:
${\displaystyle \frac{HK}{CM}}={\displaystyle \frac{BH}{BC}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{HK}{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}}$ $\Rightarrow HK={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\sqrt{a^2-x^2}}{2}}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $B^{\prime }HK$ ta có:
$B^{\prime }{K}^2=B^{\prime }{H}^2+H{K}^2=x^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}(a^2-x^2)={\displaystyle \frac{3}{4}}{a}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$ $\Rightarrow B^{\prime }K={\displaystyle \frac{\sqrt{3a^2+x^2}}{2}}$
Ta có: $\{\begin{array}{l}AB\mathrm{\perp }{B}^{\prime }H\\ AB\mathrm{\perp }HK\left(HK//CM\right)\end{array}\Rightarrow AB\mathrm{\perp }\left(B^{\prime }HK\right)\Rightarrow AB\mathrm{\perp }{B}^{\prime }K$.
Khi đó ta có: $S_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=B^{\prime }K.AB={\displaystyle \frac{a\sqrt{3a^2+x^2}}{2}}$
Ta có: $C{C}^{\prime }//B{B}^{\prime }\Rightarrow C{C}^{\prime }//\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\Rightarrow d(C{C}^{\prime };\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))=d(C;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))={\displaystyle \frac{a\sqrt{12}}{5}}$.
$\Rightarrow V_{C.AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}.d(C;\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right))$
$={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3a^2+x^2}}{2}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{12}}{5}}$
$={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{12}\sqrt{3a^2+x^2}}{30}}={\displaystyle \frac{2}{3}}{V}_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$
$\Rightarrow V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{3}{2}}.{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{12}\sqrt{3a^2+x^2}}{30}}={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{12}\sqrt{3a^2+x^2}}{20}}$
Lại có $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=B^{\prime }H.S_{\mathrm{\Delta }ABC}=x.{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{a^2\sqrt{12}\sqrt{3a^2+x^2}}{20}}=x.{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$
$\iff {\displaystyle \frac{2\sqrt{3a^2+x^2}}{5}}=x\iff 4(3a^2+x^2)=25x^2$
$\iff 21x^2=12a^2\iff x={\displaystyle \frac{2\sqrt{7}}{7}}a$
Vậy $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=x.{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{7}}{7}}.{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{21}{a}^3}{14}}$.