Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt bên $B{B}'{C}'C$ là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa $C{C}'$ và mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{12}}{5}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{14}$
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{7}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{14}$
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{7}$
Phương pháp giải:
- Kẻ ${B}'H\bot BC\left( H\in BC \right)$. Chứng minh ${B}'H\bot \left( ABC \right)$.
- Đặt ${B}'H=x\left( x>0 \right)$, tính $BH$ theo x.
- Gọi M là trung điểm của $AB$, trong $\left( ABC \right)$ kẻ $HK//CM\left( K\in AB \right)$, tính ${B}'K$ theo x, từ đó tính ${{S}_{AB{B}'{A}'}}$ theo x.
- Tính ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{3}{2}{{V}_{C.AB{B}'{A}'}}=\dfrac{3}{2}{B}'K.{{S}_{AB{B}'{A}'}}.d\left( C;\left( AB{B}'{A}' \right) \right)={B}'H.{{S}_{\Delta ABC}}$. Giải phương trình tìm x, từ đó tính ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$.
Giải chi tiết:
Kẻ ${B}'H\bot BC\left( H\in BC \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( BC{C}'{B}' \right)\bot \left( ABC \right)=BC \\
{B}'H\subset \left( BC{C}'{B}' \right);{B}'H\bot BC \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow {B}'H\bot \left( ABC \right)$.
Đặt ${B}'H=x\left( x>0 \right)\Rightarrow BH=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ (Định lí Pytago trong tam giác vuông $B{B}'H$ ).
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ ta có $CM\bot AB$ và $CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ (do $\Delta ABC$ đều ạnh a ).
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $HK//CM\left( K\in AB \right)$, áp dụng định lí Ta-lét ta có:
$\dfrac{HK}{CM}=\dfrac{BH}{BC}\Rightarrow \dfrac{HK}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{a}$ $\Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt{3}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ${B}'HK$ ta có:
${B}'{{K}^{2}}={B}'{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}={{x}^{2}}+\dfrac{3}{4}\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{3}{4}{{a}^{2}}+\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}$ $\Rightarrow {B}'K=\dfrac{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AB\bot {B}'H \\
AB\bot HK\left( HK//CM \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow AB\bot \left( {B}'HK \right)\Rightarrow AB\bot {B}'K$.
Khi đó ta có: ${{S}_{AB{B}'{A}'}}={B}'K.AB=\dfrac{a\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}$
Ta có: $C{C}'//B{B}'\Rightarrow C{C}'//\left( AB{B}'{A}' \right)\Rightarrow d\left( C{C}';\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=d\left( C;\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{12}}{5}$.
$\Rightarrow {{V}_{C.AB{B}'{A}'}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{AB{B}'{A}'}}.d\left( C;\left( AB{B}'{A}' \right) \right)$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}.\dfrac{a\sqrt{12}}{5}$
$=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{12}\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{30}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{12}\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{30}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{12}\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{20}$
Lại có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={B}'H.{{S}_{\Delta ABC}}=x.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
$\Rightarrow \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{12}\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{20}=x.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{5}=x\Leftrightarrow 4\left( 3{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)=25{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow 21{{x}^{2}}=12{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}a$
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=x.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{21}{{a}^{3}}}{14}$.
- Kẻ ${B}'H\bot BC\left( H\in BC \right)$. Chứng minh ${B}'H\bot \left( ABC \right)$.
- Đặt ${B}'H=x\left( x>0 \right)$, tính $BH$ theo x.
- Gọi M là trung điểm của $AB$, trong $\left( ABC \right)$ kẻ $HK//CM\left( K\in AB \right)$, tính ${B}'K$ theo x, từ đó tính ${{S}_{AB{B}'{A}'}}$ theo x.
- Tính ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{3}{2}{{V}_{C.AB{B}'{A}'}}=\dfrac{3}{2}{B}'K.{{S}_{AB{B}'{A}'}}.d\left( C;\left( AB{B}'{A}' \right) \right)={B}'H.{{S}_{\Delta ABC}}$. Giải phương trình tìm x, từ đó tính ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$.
Giải chi tiết:
Kẻ ${B}'H\bot BC\left( H\in BC \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( BC{C}'{B}' \right)\bot \left( ABC \right)=BC \\
{B}'H\subset \left( BC{C}'{B}' \right);{B}'H\bot BC \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow {B}'H\bot \left( ABC \right)$.
Đặt ${B}'H=x\left( x>0 \right)\Rightarrow BH=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ (Định lí Pytago trong tam giác vuông $B{B}'H$ ).
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ ta có $CM\bot AB$ và $CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ (do $\Delta ABC$ đều ạnh a ).
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $HK//CM\left( K\in AB \right)$, áp dụng định lí Ta-lét ta có:
$\dfrac{HK}{CM}=\dfrac{BH}{BC}\Rightarrow \dfrac{HK}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{a}$ $\Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt{3}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ${B}'HK$ ta có:
${B}'{{K}^{2}}={B}'{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}={{x}^{2}}+\dfrac{3}{4}\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{3}{4}{{a}^{2}}+\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}$ $\Rightarrow {B}'K=\dfrac{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AB\bot {B}'H \\
AB\bot HK\left( HK//CM \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow AB\bot \left( {B}'HK \right)\Rightarrow AB\bot {B}'K$.
Khi đó ta có: ${{S}_{AB{B}'{A}'}}={B}'K.AB=\dfrac{a\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}$
Ta có: $C{C}'//B{B}'\Rightarrow C{C}'//\left( AB{B}'{A}' \right)\Rightarrow d\left( C{C}';\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=d\left( C;\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{12}}{5}$.
$\Rightarrow {{V}_{C.AB{B}'{A}'}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{AB{B}'{A}'}}.d\left( C;\left( AB{B}'{A}' \right) \right)$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}.\dfrac{a\sqrt{12}}{5}$
$=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{12}\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{30}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{12}\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{30}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{12}\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{20}$
Lại có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={B}'H.{{S}_{\Delta ABC}}=x.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
$\Rightarrow \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{12}\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{20}=x.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{5}=x\Leftrightarrow 4\left( 3{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)=25{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow 21{{x}^{2}}=12{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}a$
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=x.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{21}{{a}^{3}}}{14}$.
Đáp án B.