Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại B và $AC=2a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ trên mặt phẳng $\left(...

Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính độ dài hai cạnh góc vuông.
- Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính độ dài đường cao $A^{\prime }H$.
- Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=A^{\prime }H.S_{ABC}$.
Giải chi tiết:

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại B nên $AB=BC={\displaystyle \frac{AC}{\sqrt{2}}}=a\sqrt{2}$.
Gọi H là trung điểm của $AB$, ta có $A^{\prime }H\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ và $AH=BH={\displaystyle \frac{1}{2}}AB={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$.
Vì $A^{\prime }H\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow A^{\prime }H\mathrm{\perp }AH$ nên tam giác $A^{\prime }AH$ vuông tại H. Áp dụng định lí Pytago ta có:
$A^{\prime }H=\sqrt{A{A^{\prime }}^2}-A{H}^2=\sqrt{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}$.
Ta có: $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.BC={\displaystyle \frac{1}{2}}.a\sqrt{2}.a\sqrt{2}=a^2$.
Vậy $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=A^{\prime }H.S_{ABC}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}.a^2={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{6}}{2}}$.