Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại B và $AC=2a$. Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm H của cạnh $AB$ và ${A}'A=a\sqrt{2}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
A. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{2}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$
A. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{2}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính độ dài hai cạnh góc vuông.
- Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính độ dài đường cao ${A}'H$.
- Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'H.{{S}_{ABC}}$.
Giải chi tiết:
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại B nên $AB=BC=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.
Gọi H là trung điểm của $AB$, ta có ${A}'H\bot \left( ABC \right)$ và $AH=BH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vì ${A}'H\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {A}'H\bot AH$ nên tam giác ${A}'AH$ vuông tại H. Áp dụng định lí Pytago ta có:
${A}'H=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}}-A{{H}^{2}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}.a\sqrt{2}.a\sqrt{2}={{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'H.{{S}_{ABC}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính độ dài hai cạnh góc vuông.
- Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính độ dài đường cao ${A}'H$.
- Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'H.{{S}_{ABC}}$.
Giải chi tiết:
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại B nên $AB=BC=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.
Gọi H là trung điểm của $AB$, ta có ${A}'H\bot \left( ABC \right)$ và $AH=BH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vì ${A}'H\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {A}'H\bot AH$ nên tam giác ${A}'AH$ vuông tại H. Áp dụng định lí Pytago ta có:
${A}'H=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}}-A{{H}^{2}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}.a\sqrt{2}.a\sqrt{2}={{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'H.{{S}_{ABC}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
Đáp án C.