Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $A{A}'=2a$, tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và $\widehat{BAC}=60{}^\circ $, góc giữa cạnh bên $B{B}'$ và mặt đáy $\left(ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $ . Hình chiếu vuông góc của ${B}'$ lên mặt phẳng $\left(ABC \right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$ . Thể tích của khối tứ diện ${A}'. ABC$ theo $a$ bằng:
A. $\dfrac{9{{a}^{3}}}{208}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{26}$.
C. $\dfrac{9{{a}^{3}}}{26}$.
D. $\dfrac{27{{a}^{3}}}{208}$.
+) Vì hình chiếu vuông góc của B' lên mặt $\left( ABC \right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có : $B'G\bot \left( ABC \right)$ (với G là trọng tâm tam giác ABC).
Góc giữa BB' và mặt đáy $\left( ABC \right)$ là $\widehat{B'BG}={{60}^{\circ }}$.
Xét tam giác $B'BG$ vuông tại G có :
$B'G=BB'.\sin {{60}^{\circ }}=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ ; $BG=B'B.\cos {{60}^{\circ }}=2a.\dfrac{1}{2}=a$.
Gọi M là trung điểm của AC. Vì G là trọng tâm tam giác $ABC$ nên : $BM=\dfrac{3}{2}BG=\dfrac{3a}{2}$.
Đặt $AC=x \left( x>0 \right)$ $\Rightarrow BC=AC.\tan {{60}^{\circ }}=x\sqrt{3}$ (1)
Xét tam giác BMC vuông tại M có : $B{{C}^{2}}=B{{M}^{2}}-M{{C}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có : $3{{x}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{4}\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}=9{{a}^{2}}-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{2}}}{13}\Leftrightarrow x=\dfrac{3a}{\sqrt{13}} ( do x>0)$
$\Rightarrow AC=\dfrac{3a}{\sqrt{13}},BC=\dfrac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{13}}$
Ta có : ${{V}_{A'.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.B'G=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3a}{\sqrt{13}}.\dfrac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{13}}.a\sqrt{3}=\dfrac{9{{a}^{3}}}{26}$.
A. $\dfrac{9{{a}^{3}}}{208}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{26}$.
C. $\dfrac{9{{a}^{3}}}{26}$.
D. $\dfrac{27{{a}^{3}}}{208}$.
+) Vì hình chiếu vuông góc của B' lên mặt $\left( ABC \right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có : $B'G\bot \left( ABC \right)$ (với G là trọng tâm tam giác ABC).
Góc giữa BB' và mặt đáy $\left( ABC \right)$ là $\widehat{B'BG}={{60}^{\circ }}$.
Xét tam giác $B'BG$ vuông tại G có :
$B'G=BB'.\sin {{60}^{\circ }}=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ ; $BG=B'B.\cos {{60}^{\circ }}=2a.\dfrac{1}{2}=a$.
Gọi M là trung điểm của AC. Vì G là trọng tâm tam giác $ABC$ nên : $BM=\dfrac{3}{2}BG=\dfrac{3a}{2}$.
Đặt $AC=x \left( x>0 \right)$ $\Rightarrow BC=AC.\tan {{60}^{\circ }}=x\sqrt{3}$ (1)
Xét tam giác BMC vuông tại M có : $B{{C}^{2}}=B{{M}^{2}}-M{{C}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có : $3{{x}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{4}\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}=9{{a}^{2}}-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{2}}}{13}\Leftrightarrow x=\dfrac{3a}{\sqrt{13}} ( do x>0)$
$\Rightarrow AC=\dfrac{3a}{\sqrt{13}},BC=\dfrac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{13}}$
Ta có : ${{V}_{A'.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.B'G=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3a}{\sqrt{13}}.\dfrac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{13}}.a\sqrt{3}=\dfrac{9{{a}^{3}}}{26}$.
Đáp án C.