Google
Câu hỏi: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là một hình thoi với diện tích ${{S}_{1}}$. Hai mặt chéo $ACC'A'$ và $BDD'B'$ có diện tích lần lượt bằng ${{S}_{2}},{{S}_{3}}$. Khi đó thể tích của khối hộp đã cho là
A. $\sqrt{\dfrac{{{S}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}}}{2}}$
B. $\dfrac{\sqrt{2{{S}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}}}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{3{{S}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}}}}{3}$
D. $\dfrac{{{S}_{1}}\sqrt{{{S}_{2}}{{S}_{3}}}}{2}$
A. $\sqrt{\dfrac{{{S}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}}}{2}}$
B. $\dfrac{\sqrt{2{{S}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}}}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{3{{S}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}}}}{3}$
D. $\dfrac{{{S}_{1}}\sqrt{{{S}_{2}}{{S}_{3}}}}{2}$
Gọi chiều cao của hình hộp đã cho là $h$.
Ta có: ${{S}_{1}}=\dfrac{1}{2}AC.BD$
Mặt khác: Các mặt chéo đều là hình chữ nhật nên:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{S}_{2}}=AC.h \\
& {{S}_{3}}=BD.h \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{S}_{2}}{{S}_{3}}=AC.BD.{{h}^{2}}=2{{S}_{1}}.{{h}^{2}}$
$\Rightarrow h=\sqrt{\dfrac{{{S}_{2}}{{S}_{3}}}{2{{S}_{1}}}}$
Vậy: Thể tích của khối hộp đã cho là: $V={{S}_{1}}h={{S}_{1}}\sqrt{\dfrac{{{S}_{2}}{{S}_{3}}}{2{{S}_{1}}}}=\sqrt{\dfrac{{{S}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}}}{2}}$.
Ta có: ${{S}_{1}}=\dfrac{1}{2}AC.BD$
Mặt khác: Các mặt chéo đều là hình chữ nhật nên:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{S}_{2}}=AC.h \\
& {{S}_{3}}=BD.h \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{S}_{2}}{{S}_{3}}=AC.BD.{{h}^{2}}=2{{S}_{1}}.{{h}^{2}}$
$\Rightarrow h=\sqrt{\dfrac{{{S}_{2}}{{S}_{3}}}{2{{S}_{1}}}}$
Vậy: Thể tích của khối hộp đã cho là: $V={{S}_{1}}h={{S}_{1}}\sqrt{\dfrac{{{S}_{2}}{{S}_{3}}}{2{{S}_{1}}}}=\sqrt{\dfrac{{{S}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}}}{2}}$.
Đáp án A.