Google
Câu hỏi: Cho hình hộp đứng ${ABCD.A'B'C'D'}$ có các cạnh ${AB=AD=a,AA'=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$ và góc ${\widehat{BAD}={{60}^{0}}.}$ Gọi ${M}$ và ${N}$ lần lượt là trung điểm các cạnh ${A'D'}$ và ${A'B'}$. Tính thể tích khối chóp . ${A.BDMN.}$.
A. ${V=\dfrac{{{a}^{3}}}{16}.}$
B. ${V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.}$
C. ${V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.}$
D. ${V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}.}$
Vì $AD=2A'M\Rightarrow BD=2AM$ (theo định lý Talet), hai tam giác BMN và EBD đồng dạng theo tỉ số 0,5 nên ${{S}_{EMN}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{A.EBD}}\Rightarrow {{S}_{BDMN}}=\dfrac{3}{4}{{S}_{EBD}}.$
Ta có ${{V}_{A.BDMN}}=\dfrac{9}{4}{{V}_{A.EBD}}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{3}V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}.$
A. ${V=\dfrac{{{a}^{3}}}{16}.}$
B. ${V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.}$
C. ${V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.}$
D. ${V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}.}$
Vì $AD=2A'M\Rightarrow BD=2AM$ (theo định lý Talet), hai tam giác BMN và EBD đồng dạng theo tỉ số 0,5 nên ${{S}_{EMN}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{A.EBD}}\Rightarrow {{S}_{BDMN}}=\dfrac{3}{4}{{S}_{EBD}}.$
Ta có ${{V}_{A.BDMN}}=\dfrac{9}{4}{{V}_{A.EBD}}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{3}V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}.$
Đáp án D.